int(1+tan^2x)/(1-tanx)^2dx  এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: \(\int \frac{1+\tan^2 x}{(1-\tan x)^2} dx\) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

আমরা জানি, \(1+\tan^2 x = \sec^2 x\)। সুতরাং,

\(\int \frac{1+\tan^2 x}{(1-\tan x)^2} dx = \int \frac{\sec^2 x}{(1-\tan x)^2} dx\)

ধরি, \(u = 1 - \tan x\)। তাহলে, \(\frac{du}{dx} = -\sec^2 x\), অর্থাৎ \(du = -\sec^2 x dx\)।

সুতরাং, \(\sec^2 x dx = -du\).

তাহলে, আমাদের ইন্টিগ্রালটি দাঁড়ায়:

\(\int \frac{\sec^2 x}{(1-\tan x)^2} dx = \int \frac{-du}{u^2} = -\int u^{-2} du\)

আমরা জানি, \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), যেখানে \(C\) একটি সমাকলন ধ্রুবক।

সুতরাং, \(-\int u^{-2} du = - \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = - \frac{u^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{u} + C\)

এখন, \(u\) এর মান বসিয়ে পাই,

\(\frac{1}{u} + C = \frac{1}{1-\tan x} + C\)

অতএব, \(\int \frac{1+\tan^2 x}{(1-\tan x)^2} dx = \frac{1}{1-\tan x} + C\).

সুতরাং, নির্ণেয় মান: \(\frac{1}{1-\tan x} + C\)

উত্তর: \(\frac{1}{1-\tan x}+C\) 🎉