costan^-1cotsin^-1x এর মান কোনটি?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \(\arccot \circ \arcsin x\) এর মান কি? আমরা বুঝতে পারি যে, মূলত এটি হচ্ছে কম্পোজিশন ফাংশন: \(\arccot(\arcsin x)\)। প্রথমে, \(\arcsin x\): \(\arcsin x\) হল সেই কোণ \(\theta\), যার জন্য: \[ \sin \theta = x, \quad \text{যেখানে} \quad -1 \leq x \leq 1, \quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \] এখন, আমাদের লক্ষ্য হলো: \[ \arccot(\arcsin x) = \arccot(\theta) \] যেহেতু \(\theta = \arcsin x\), তাই: \[ \arccot(\theta) = \text{কোণ } \phi \text{ যার জন্য } \cot \phi = \theta \] অথবা: \[ \phi = \arccot \theta \] তাই, \( \arccot \circ \arcsin x \) এর মান হলো সেই \(\phi\), যেখানে: \[ \cot \phi = \theta = \arcsin x \] এখন, \(\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi}\), এবং \(\phi\) এর জন্য নির্দিষ্ট সীমা হলো \(0 < \phi < \pi\) (যেহেতু \(\arccot\) সাধারণত এই সীমায় নেওয়া হয়)। তাহলে, আমরা পেতে পারি: \[ \cot \phi = \arcsin x \] এবং \(\arcsin x\) এর মান \(\theta\) (যা \(-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\))। তাই, \[ \cot \phi = \theta \] এখন, \(\cot \phi = \frac{\cos \phi}{\sin \phi}\), এবং \(\phi\) এর জন্য: \[ \phi = \arccot \theta \] তবে, \(\theta = \arcsin x\), তাই: \[ \phi = \arccot(\arcsin x) \] এখন, এই মানের সরলীকরণ করতে হবে। **অর্থাৎ,** \[ \arccot(\arcsin x) \] এই অংকের মানটি সরলীকরণে আমরা লক্ষ্য করবো যে, যেহেতু \(\arcsin x = \theta\), যেখানে \(\sin \theta = x\), এবং \(\theta \in [-\pi/2, \pi/2]\), তাহলে \(\arccot \theta\) এর মান নির্ভর করবে \(\theta\) এর উপর। তবে, একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক হলো: \[ \arccot y + \arctan y = \frac{\pi}{2} \] অতএব, \(\arccot y = \frac{\pi}{2} - \arctan y\), যেহেতু \(\arcsin x = \theta\), তাহলে \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\) (যেখানে \(\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}\), কারণ \(\theta \in [-\pi/2, \pi/2]\))। সুতরাং, \[ \arctan (\sin \theta / \cos \theta) = \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \] অর্থাৎ, \[ \arccot (\arcsin x) = \frac{\pi}{2} - \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right) \] তাই, **উত্তর হল:**

\(\boxed{\frac{\pi}{2} - \arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\right)}\)

এবং যখন \(x\) এর মান \(-1 \leq x \leq 1\), এই মানটি প্রযোজ্য। **সাধারণত, এই মানকে সরাসরি দেখতে গেলে, এটি মূলত \(x\) এর মানের উপর নির্ভর করে।**