\( (1, -1) \) এবং \( (2, 4) \) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক সরলরেখার লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ-

প্রশ্ন:

প্রদত্ত বিন্দুগুলো হল \( (1, -1) \) এবং \( (2, 4) \)। এই দুই বিন্দুর সংযোজক সরলরেখার লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় করুন।

উত্তর:

দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয় করতে প্রথমে আমাদের এই দুই বিন্দুর মধ্যবর্তী বিন্দু (Midpoint) নির্ণয় করতে হবে।

ধাপ ১: মধ্যবিন্দু নির্ণয়

Midpoint \( M \):
\( M_x = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \)
\( M_y = \frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-1 + 4}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \)

অতএব, মধ্যবিন্দু \( M = (1.5, 1.5) \)

ধাপ ২: দুই বিন্দুর মধ্যে সাদৃশ্য রেখার ঢাল নির্ণয়

ঢাল \( m \):
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{4 - (-1)}{2 - 1} = \frac{5}{1} = 5 \)

ধাপ ৩: লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ঢাল নির্ণয়

লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের ঢাল হবে, এটি মূল রেখার ঢালের উল্টো ও ঋণাত্মক। সুতরাং,
\( m_{perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{5} \)

ধাপ ৪: লম্ব সমদ্বিখণ্ডকের সমীকরণ নির্ণয়

আমরা মধ্যবিন্দু \( M(1.5, 1.5) \) দিয়ে এই ঢাল সহ রেখার সমীকরণ লিখব:
\( y - y_1 = m_{perp} (x - x_1) \)

অর্থাৎ,
\( y - 1.5 = -\frac{1}{5} (x - 1.5) \)

এখন, সমীকরণটি সরলীকরণ করি:
\( y - 1.5 = -\frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \times 1.5 \)
\( y - 1.5 = -\frac{1}{5} x + \frac{1.5}{5} \)
\( y - 1.5 = -\frac{1}{5} x + 0.3 \)

দুটি পাশ যোগ করে:
\( y = -\frac{1}{5} x + 0.3 + 1.5 \)
\( y = -\frac{1}{5} x + 1.8 \)

এখন, এই সমীকরণকে সাধারণ রূপে আনব:
গুণ করি 5 দ্বারা:
\( 5y = -x + 9 \)

অথবা:
\( x + 5y = 9 \)

সাধারণ রূপে আনলে:
\( x + 5y - 9 = 0 \)

উত্তর:
\(\boxed{x + 5y - 9 = 0}\)