x=a(theta-sintheta) ,  y=a(1+costheta) এবং  dx/dy=sqrt3 হলে  theta= কত? 

প্রশ্ন: \(x=a(\theta - \sin\theta)\), \(y=a(1+\cos\theta)\) এবং \(\frac{dx}{dy}=\sqrt{3}\) হলে \(\theta=?\) 🤔

সমাধান:

প্রথমে, \(x\) এবং \(y\) কে \(\theta\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি।

\(\frac{dx}{d\theta} = a(1 - \cos\theta)\) এবং \(\frac{dy}{d\theta} = a(-\sin\theta)\)

এখন, \(\frac{dx}{dy}\) নির্ণয় করি:

\(\frac{dx}{dy} = \frac{dx/d\theta}{dy/d\theta} = \frac{a(1 - \cos\theta)}{a(-\sin\theta)} = \frac{1 - \cos\theta}{-\sin\theta}\)

প্রশ্নমতে, \(\frac{dx}{dy} = \sqrt{3}\)

সুতরাং, \(\frac{1 - \cos\theta}{-\sin\theta} = \sqrt{3}\)

\(1 - \cos\theta = -\sqrt{3}\sin\theta\)

\(1 - \cos\theta = -\sqrt{3}\sin\theta\) সমীকরণটিকে সমাধান করার জন্য, আমরা উভয় দিকে বর্গ করি:

\((1 - \cos\theta)^2 = 3\sin^2\theta\)

\(1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta = 3(1 - \cos^2\theta)\)

\(1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta = 3 - 3\cos^2\theta\)

\(4\cos^2\theta - 2\cos\theta - 2 = 0\)

\(2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0\)

ধরি \(u = \cos\theta\), তাহলে \(2u^2 - u - 1 = 0\)

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে সমাধান করি:

\(u = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}\)

সুতরাং, \(u = \frac{1 + 3}{4} = 1\) অথবা \(u = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}\)

যদি \(\cos\theta = 1\) হয়, তাহলে \(\theta = 0\) অথবা \(2\pi\)। কিন্তু \(\theta = 0\) হলে, \(\frac{dx}{dy}\) এর মান অসীম হয়, তাই এটা গ্রহণযোগ্য নয়।

যদি \(\cos\theta = -\frac{1}{2}\) হয়, তাহলে \(\theta = \frac{2\pi}{3}\) অথবা \(\theta = \frac{4\pi}{3}\) অথবা \(\theta = \frac{5\pi}{3}\).

\(\theta = \frac{2\pi}{3}\) হলে, \(\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}\). তাহলে \(\frac{1 - (-\frac{1}{2})}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\sqrt{3}\), যা গ্রহণযোগ্য নয়।

\(\theta = \frac{4\pi}{3}\) হলে, \(\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). তাহলে \(\frac{1 - (-\frac{1}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3}\), যা গ্রহণযোগ্য ।

\(\theta = \frac{5\pi}{3}\) হলে, \(\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). তাহলে \(\frac{1 - (-\frac{1}{2})}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{3}\), যা গ্রহণযোগ্য ।

কিন্তু \(\theta = \frac{4\pi}{3}\) সঠিক নয় , কারণ এর জন্য \(x\),\(y\) এর মান প্রশ্নে প্রদত্ত শর্তের সঙ্গে মেলে না।

অতএব, \(\theta = \frac{5\pi}{3}\) 🎉