বাইনারী সংখ্যা (101101)₂ এর সাথে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা যােগ করলে যােগফল 16 দ্বারা বিভাজ্য হবে?

প্রশ্ন: বাইনারী সংখ্যা \( (101101)_2 \) এর সাথে ক্ষুদ্রতম কোন সংখ্যা যোগ করলে যোগফল 16 দ্বারা বিভাজ্য হবে?

ধাপ 1: প্রথমে, বাইনারী সংখ্যাটির দশমিক মান নির্ণয় করি।

\( (101101)_2 = 1 \times 2^5 + 0 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 \)

\( = 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45 \)

ধাপ 2: ধরা যাক, যোগফল হলো \( S \), যা 16 দ্বারা বিভাজ্য।

অর্থাৎ, \( S \equiv 0 \pmod{16} \)।

এবং, \( S = 45 + x \), যেখানে \( x \) হলো যোগ করতে চাওয়া সংখ্যাটি।

ধাপ 3: আমাদের লক্ষ্য হলো ক্ষুদ্রতম \( x \) খুঁজে পাওয়া, যার জন্য:

\( 45 + x \equiv 0 \pmod{16} \)

অর্থাৎ,

\( x \equiv -45 \pmod{16} \)

এখানে, \(-45 \equiv -45 + 48 = 3 \pmod{16}\) কারণ, 48 হলো 16 গুণ 3।

সুতরাং,

\( x \equiv 3 \pmod{16} \)

ধরুন, ক্ষুদ্রতম \( x \) হলো 3।

ধাপ 4: এখন, \( x = 3 \) এর বাইনারি রূপ নির্ণয় করি।

\( 3_{10} = (11)_2 \)

অতএব, ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যা যোগ করলে যোগফল 16 দ্বারা বিভাজ্য হবে, তা হলো \( (11)_2 \)।