c এর কোন মনের জন্য 4x + 3y = c ও 12 - 5y = 2 (c + 3) রেখাদ্বয় মুলবিন্দু হতে সমদুরবর্তী হবে?

🤔 প্রশ্ন: c এর কোন মানের জন্য 4x + 3y = c ও 12x - 5y = 2(c + 3) রেখাদ্বয় মূলবিন্দু হতে সমদূরবর্তী হবে? 🤔

💡 সমাধান:

প্রদত্ত রেখা দুটি হলো:

\(4x + 3y = c\) ..........(1)

\(12x - 5y = 2(c + 3)\)

বা, \(12x - 5y = 2c + 6\) ..........(2)

আমরা জানি, \(ax + by + c = 0\) রেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \(\left|\frac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right|\).

সুতরাং, (1) নং রেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব, \(d_1 = \left|\frac{-c}{\sqrt{4^2 + 3^2}}\right| = \left|\frac{-c}{\sqrt{16 + 9}}\right| = \left|\frac{-c}{5}\right|\) 📏

এবং (2) নং রেখার মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব, \(d_2 = \left|\frac{-(2c + 6)}{\sqrt{12^2 + (-5)^2}}\right| = \left|\frac{-(2c + 6)}{\sqrt{144 + 25}}\right| = \left|\frac{-(2c + 6)}{13}\right|\) 📐

প্রশ্নানুসারে, রেখা দুটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী। অর্থাৎ, \(d_1 = d_2\) 🤝

\(\left|\frac{-c}{5}\right| = \left|\frac{-(2c + 6)}{13}\right|\)

\(\frac{|c|}{5} = \frac{|2c + 6|}{13}\)

\(13|c| = 5|2c + 6|\)

\(13c = \pm 5(2c + 6)\) ➕➖

Case 1: \(13c = 5(2c + 6)\)

\(13c = 10c + 30\)

\(3c = 30\)

\(c = 10\) ✅

Case 2: \(13c = -5(2c + 6)\)

\(13c = -10c - 30\)

\(23c = -30\)

\(c = -\frac{30}{23}\) ❌

অতএব, \(c = 10\) হলে, রেখা দুটি মূলবিন্দু থেকে সমদূরবর্তী হবে। 🥳