Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \((k^2 - 3) x^2 + 3kx + (3k + 1) = 0\)
আমাদের লক্ষ্য হলো এমন \(k\) এর মান খুঁজে বের করা যেখানে এই সমীকরণের মূলদ্বয় পরস্পর উল্টা হয়। অর্থাৎ, যদি সমীকরণের মূলগুলো হয় \( \alpha \) এবং \( \beta \), তাহলে:
\[
\alpha \beta = -1
\]
(কারণ দুই মূলের উল্টা মানের জন্য, তাদের গুণফল \(-1\) হতে হবে।)
---
**ধাপ ১:** মূলের গুণফল ও সমন্বয় সূত্র ব্যবহার করি।
সমীকরণের সাধারণ আকার: \(ax^2 + bx + c = 0\)
এখানে,
\[
a = k^2 - 3, \quad b = 3k, \quad c = 3k + 1
\]
মূলের গুণফল:
\[
\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{3k + 1}{k^2 - 3}
\]
মূলের যোগফল:
\[
\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = - \frac{3k}{k^2 - 3}
\]
---
**ধাপ ২:** মূলদ্বয় পরস্পর উল্টা হলে:
\[
\alpha \beta = -1
\]
অর্থাৎ,
\[
\frac{3k + 1}{k^2 - 3} = -1
\]
---
**ধাপ ৩:** সমীকরণ সমাধান করি:
\[
\frac{3k + 1}{k^2 - 3} = -1
\]
এটি লিখি:
\[
3k + 1 = - (k^2 - 3)
\]
\[
3k + 1 = -k^2 + 3
\]
অতএব,
\[
k^2 + 3k + (1 - 3) = 0
\]
\[
k^2 + 3k - 2 = 0
\]
---
**ধাপ ৪:** এই কোয়াড্রাটিক সমীকরণ সমাধান করি:
\[
k^2 + 3k - 2 = 0
\]
ডিসক্রিমিনেন্ট:
\[
D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-2) = 9 + 8 = 17
\]
মূল:
\[
k = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}
\]
---
**উত্তর:**
অতএব, \(k\) এর মান:
\[
\boxed{
k = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \quad \text{বা} \quad k = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}
}
\]
---
**নোট:** প্রশ্নে উল্লেখ করা হয়েছে উত্তর হিসেবে "-1"। তবে, উপরের বিশ্লেষণ অনুযায়ী, মূলগুলো নির্ণয় হয়েছে। যদি প্রশ্নের উদ্দেশ্য হয়, তখন দুটি মানের মধ্যে কোনটি মূলদ্বয় পরস্পর উল্টা হবে সেটি নির্ণয় করা। এই ক্ষেত্রে, \(k = -1\) এই মানটি যোগ্য নয় কারণ এটি উপযুক্ত সমাধান নয়।
**তবে, যদি প্রশ্নে নির্দেশ থাকে যে, \(k = -1\) এর জন্য মূলদ্বয় উল্টা হবে, তাহলে তা যাচাই করি:**
প্রয়োগ:
\[
k = -1
\]
সমীকরণ:
\[
(k^2 - 3) x^2 + 3k x + (3k + 1) = 0
\]
\[
(1 - 3) x^2 + 3 \times (-1) x + (3 \times -1 + 1) = 0
\]
\[
-2 x^2 - 3x - 2 = 0
\]
গুণফল:
\[
\alpha \beta = \frac{-2}{-2} = 1
\]
মূলের গুণফল 1, যা উল্টো নয়। অতএব, **\(k = -1\) এর জন্য মূলদ্বয় উল্টা হবে না।**
---
**সারসংক্ষেপ:**
**উত্তর:** \(\boxed{\text{উল্লেখিত গণনানুযায়ী, মূলের উল্টা হওয়ার জন্য } k = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}}\)
(অর্থাৎ, \(-1\) নয়।)
