x²-3y²=4 কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(x^2 - 3y^2 = 4\) কনিকের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?

আমরা প্রথমে উল্লেখ্য যে, এই সমীকরণটি একটি হাইপারবোলার এর সমীকরণঃ

\[ x^2 - 3y^2 = 4 \]

ধাপ ১: সাধারণ রূপে রূপান্তর

আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি একটি স্ট্যান্ডার্ড হাইপারবোলার, যেখানে কেন্দ্রে অবস্থিত, কারণ সমীকরণের এক পাশে মূল মান আছে। সাধারণত, হাইপারবোলার এর সমীকরণ এই রূপে লেখা হয়: \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \] অতএব, সমীকরণটি নিম্নরূপে রূপান্তর করি: \[ x^2 - 3 y^2 = 4 \] অর্থাৎ, \[ \frac{x^2}{4} - \frac{3 y^2}{4} = 1 \] এখানে, \[ a^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 2 \] এবং, \[ \frac{3 y^2}{4} = \frac{y^2}{b^2} \] অর্থাৎ, \[ b^2 = \frac{4}{3} \] অতএব, \[ b = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \]

ধাপ ২: উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য

উপকেন্দ্রিক হাইপারবোলার এর জন্য, লম্বের দৈর্ঘ্য (transverse axis length) হলো: \[ 2a \] এখানে, \[ a = 2 \] অতএব, উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: \[ 2a = 2 \times 2 = 4 \]

উত্তর:

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য = 4