যদি একটি ত্রিভুজের পরিসীমা p হয় তার দুটি বাহু 6 একক ও 9 একক , তবে p এর সীমা হবে -

প্রশ্ন: যদি একটি ত্রিভুজের পার্শ্বসমূহ \(a=6\), \(b=9\), তাহলে পার্শ্বসমূহের যোগফল \(p=a+b\) এর সীমা কত হবে?

সমাধান:

1. কোনো ত্রিভুজের জন্য ত্রিভুজের অসম্পূর্ণতা (Triangle Inequality) এর শর্ত হলো:
• \(a + b > c\)
• \(a + c > b\)
• \(b + c > a\)
এখানে, দুটি বাহু \(a=6\), \(b=9\)। পার্শ্বসমূহের যোগফল \(p = a + b\)। তবে, ত্রিভুজের পার্শ্বসমূহের সীমা নির্ণয় করতে হলে, পার্শ্বসমূহের অন্যান্য মানের জন্য ত্রিভুজের শর্তগুলো প্রয়োগ করব। 2. সর্বনিম্ন মান জন্য, ধরি অন্য পার্শ্ব \(c\) সর্বোচ্চ মানের দিকে যাক, যেখানে ত্রিভুজের শর্ত পুরোপুরি পূরণ হয়: \[ a + c > b \Rightarrow 6 + c > 9 \Rightarrow c > 3 \] এবং, \[ b + c > a \Rightarrow 9 + c > 6 \Rightarrow c > -3 \quad (\text{অর্থাৎ, এই শর্ত সর্বদা সত্য}) \] এবং, \[ a + b > c \Rightarrow 6 + 9 > c \Rightarrow 15 > c \] অর্থাৎ, \(c\) এর সীমা হলো: \[ 3 < c < 15 \] 3. এখন, পার্শ্বসমূহের যোগফল \(p = a + b = 6 + 9 = 15\)। কিন্তু, \(c\) এর সীমা অনুযায়ী, \(p = a + b\) সর্বোচ্চ মান হবে যখন \(c\) সর্বনিম্ন মানে থাকে, অর্থাৎ \(c \to 3^+\), ফলে: \[ p = a + b = 15 \] অন্যদিকে, ত্রিভুজের অন্য পার্শ্ব \(c\) এর জন্য, তার সীমা হলো: \[ 3 < c < 15 \] এবং, পার্শ্বসমূহের যোগফল \(p = a + b\) এর জন্য, \(p\) এর মান সীমিত হবে: \[ 3 < p < 15 \] (কারণ, \(p\) এর মান কখনোই \(3\) বা \(15\) হবে না, কারণ \(c\) অবশ্যই ধরা হবে ঐ সীমার মধ্যে।) <প্রমাণ শেষ।>

অতএব, পার্শ্বসমূহের যোগফলের সীমা হলো:

উত্তর: 3 < p < 15