সমষ্ণ রেখার ঢাল রুদ্ধতাপীয় রেখার ঢাল অপেক্ষা কত গুণ খাড়া?

Another Explanation (5):

ধরা যাক, সমষ্ণ রেখার ঢাল \( m_s \) এবং রুদ্ধতাপীয় রেখার ঢাল \( m_r \)।

সমষ্ণ রেখার ঢাল:

\[ m_s = - \frac{\partial p}{\partial V} \bigg|_{T} \]

রুদ্ধতাপীয় রেখার ঢাল:

\[ m_r = - \frac{\partial p}{\partial V} \bigg|_{p} \]

তাহলে, সমষ্ণ রেখার ঢাল এবং রুদ্ধতাপীয় রেখার ঢাল এর মধ্যে সম্পর্ক হল:

\[ \frac{m_s}{m_r} = \frac{\left( \frac{\partial p}{\partial V} \right)_T}{\left( \frac{\partial p}{\partial V} \right)_p} \]

এখন, তাপীয় গুণাঙ্ক \(\gamma\) সংজ্ঞায়িত হয়:

\[ \gamma = \frac{C_p}{C_v} \]

এবং, তাপীয় গুণাঙ্কের সাথে প্রবণতা সম্পর্কের জন্য নিম্নলিখিত পরিচিত সম্পর্ক প্রযোজ্য:

\[ \left( \frac{\partial p}{\partial V} \right)_T = \frac{RT}{V^2} \quad \text{এবং} \quad \left( \frac{\partial p}{\partial V} \right)_p = - \frac{\gamma RT}{V^2} \]

অতএব, এই দুটি পরিমাণের অনুপাত হল:

\[ \frac{m_s}{m_r} = \frac{\frac{RT}{V^2}}{- \frac{\gamma RT}{V^2}} = - \frac{1}{\gamma} \]

এখানে, ঢাল গুণের জন্য ধনাত্মক মান ধরে নিলে, এর মান হয়:

\[ \frac{m_s}{m_r} = \frac{1}{\gamma} \]

অতএব, সমষ্ণ রেখার ঢাল রুদ্ধতাপীয় রেখার ঢাল এর গুণফল হল:

\[ \boxed{\frac{m_s}{m_r} = \frac{1}{\gamma}} \]

অর্থাৎ, সমষ্ণ রেখার ঢাল রুদ্ধতাপীয় রেখার ঢাল অপেক্ষা \(\frac{1}{\gamma}\) গুণ খাড়া।