k, l এর কোন মানের জন্য 5sin(kθ) = (10I+9)sinθ + (15I+6)cosθ একটি অভেদ হবে?

Explanation: Solve: [দ্রুত করার জন্য Calculator এর মাধ্যমে Solve করো] \[ \theta = 30^\circ \, \text{ধরে নিয়ে,} \, (C) \, \text{অপশন থেকে,} \] \[ k = 1 \, \text{এবং} \, l = -\frac{2}{5} \, \text{হলে,} \] \[ \text{L.H.S} = 5\sin(k\theta) = 5\sin(1.30) = \frac{5}{2} \] \[ \text{R.H.S} = (10l + 9)\sin\theta + (15l + 6)\cos\theta \] \[ = \left(10 \times -\frac{2}{5} + 9\right)\sin 30 + \left(15 \times -\frac{2}{5} + 6\right)\cos 30 \] \[ = \frac{10 - 4}{5}\sin 30 + \frac{15 - 6}{5}\cos 30 = \frac{5}{2} \] \[ \text{অর্থাৎ,} \, k = 1 \, \text{এবং} \, l = -\frac{2}{5} \, \text{হলে} \, \theta \, \text{এর যেকোনো মানের জন্যই সমীকরণের বামপক্ষ আর ডানপক্ষ সমান।} \] Ans. (C)

Another Explanation (5): ```html

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sin(5\theta) = 16\sin^5(\theta) - 20\sin^3(\theta) + 5\sin(\theta) \) এবং \( \cos(5\theta) = 16\cos^5(\theta) - 20\cos^3(\theta) + 5\cos(\theta) \) আমাদের দেওয়া আছে, \( 5\sin(k\theta) = (10I+9)\sin(\theta) + (15I+6)\cos(\theta) \) যেহেতু এটি একটি অভেদ, তাই উভয় পাশের \(\sin(\theta)\) এবং \(\cos(\theta)\) এর সহগ গুলো সমান হতে হবে। যদি \(k = 1\) হয়, তবে \( 5\sin(\theta) = (10I+9)\sin(\theta) + (15I+6)\cos(\theta) \) \(\implies\) \( 5 = 10I + 9 \) এবং \( 0 = 15I + 6 \) প্রথম সমীকরণ থেকে পাই, \( 10I = -4 \implies I = -\frac{2}{5} \) দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাই, \( 15I = -6 \implies I = -\frac{6}{15} = -\frac{2}{5} \) সুতরাং, \( k = 1 \) এবং \( I = -\frac{2}{5} \) হলে প্রদত্ত সমীকরণটি একটি অভেদ হবে। 🥳 অতএব, k এর মান 1 এবং l এর মান -2/5। ```