একটি ভর সিস্টেমের তিনটি ভর যথাক্রমে m₁ = 1kg, m₂ = 2kg এবং m₃ = 3kg একটি সমবাহু ত্রিভুজ (প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 1m) এর তিনটি কর্ণারে অধিষ্ঠিত। ইহার ভরকেন্দ্র নির্ণয় কর।

Explanation:

Another Explanation (5): ভরকেন্দ্র নির্ণয়ের জন্য প্রথমে আমরা ভরগুলির অবস্থান ভেক্টর নির্ণয় করি। ধরি, \(m_1\) ভরের অবস্থান \( (0, 0) \), \(m_2\) ভরের অবস্থান \( (1, 0) \) এবং \(m_3\) ভরের অবস্থান \( (0.5, \sqrt{3}/2) \) (যেহেতু এটি একটি সমবাহু ত্রিভুজ)। ভরকেন্দ্রের অবস্থান \((x_{cm}, y_{cm})\) নির্ণয়ের সূত্র: \[ x_{cm} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3} \] \[ y_{cm} = \frac{m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3}{m_1 + m_2 + m_3} \] এখানে, \(m_1 = 1\) kg, \(m_2 = 2\) kg, \(m_3 = 3\) kg এবং \((x_1, y_1) = (0, 0)\), \((x_2, y_2) = (1, 0)\), \((x_3, y_3) = (0.5, \sqrt{3}/2)\) তাহলে, \[ x_{cm} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 1) + (3 \times 0.5)}{1 + 2 + 3} = \frac{0 + 2 + 1.5}{6} = \frac{3.5}{6} \] \[ y_{cm} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 0) + (3 \times \sqrt{3}/2)}{1 + 2 + 3} = \frac{0 + 0 + 3\sqrt{3}/2}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4} \] সুতরাং, ভরকেন্দ্রের অবস্থান \( \left(\frac{3.5}{6}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \). যদি আমরা \(m_2\) কে \( (0,0) \) এবং \(m_1\) কে \( (1,0) \) তে বসাই তবে \(m_3\) এর অবস্থান হবে \( (0.5, \sqrt{3}/2) \)। সে ক্ষেত্রে, \[ x_{cm} = \frac{(1 \times 1) + (2 \times 0) + (3 \times 0.5)}{1 + 2 + 3} = \frac{1 + 0 + 1.5}{6} = \frac{2.5}{6} \] \[ y_{cm} = \frac{(1 \times 0) + (2 \times 0) + (3 \times \sqrt{3}/2)}{1 + 2 + 3} = \frac{0 + 0 + 3\sqrt{3}/2}{6} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4} \] ভরকেন্দ্রের অবস্থান হবে \( (\frac{5}{12}, \frac{\sqrt{3}}{4}) \) আবার, যদি \(m_3\) কে \( (0,0) \) এবং \(m_1\) কে \( (0.5, \sqrt{3}/2) \) এবং \(m_2\) কে \( (1,0) \) তে বসাই তবে \[ x_{cm} = \frac{(1 \times 0.5) + (2 \times 1) + (3 \times 0)}{1 + 2 + 3} = \frac{0.5 + 2 + 0}{6} = \frac{2.5}{6} \] \[ y_{cm} = \frac{(1 \times \sqrt{3}/2) + (2 \times 0) + (3 \times 0)}{1 + 2 + 3} = \frac{\sqrt{3}/2 + 0 + 0}{6} = \frac{\sqrt{3}}{12} \] ভরকেন্দ্রের অবস্থান হবে \( (\frac{5}{12}, \frac{\sqrt{3}}{12}) \) কিন্তু প্রথম ক্ষেত্রটিতে, ভরকেন্দ্রের অবস্থান \( \left(\frac{3.5}{6}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \) সবচেয়ে যুক্তিযুক্ত। 🎉 সুতরাং, উত্তর: \(\left(\frac{3.5}{6}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)\) অথবা \(\left(\frac{\sqrt{3}}{4}, \frac{3.5}{6}\right)\) 🥳