4e^x+9e^-x এর ক্ষুদ্রতম মান কোনটি?
সমাধান:
আমরা প্রদত্ত ফাংশনটি হচ্ছে:
\[f(x) = 4e^x + 9e^{-x}\]
ধাপ 1: ফাংশনের ডেরিভেটিভ নির্ণয়
প্রথমে, \(f(x)\) এর ডেরিভেটিভ নিই:
\[f'(x) = 4e^x - 9e^{-x}\]
ধাপ 2: সমীকরণ সেট করে শূন্য করি
\[f'(x) = 0 \Rightarrow 4e^x - 9e^{-x} = 0\]
এখানে, \(e^x\) কে \(t\) ধরি, অর্থাৎ \(t = e^x > 0\), তাহলে:
\[4t - \frac{9}{t} = 0\]
এখন, সমাধান করি:
\[4t = \frac{9}{t}\]
\[\Rightarrow 4t^2 = 9\]
\[t^2 = \frac{9}{4}\]
\[t = \pm \frac{3}{2}\]
কিন্তু, যেহেতু \(t = e^x > 0\), তাই শুধুমাত্র ধনাত্মক মান গ্রহণ করব:
\[t = \frac{3}{2}\]
ধাপ 3: \(x\) এর মান নির্ণয়
\[e^x = \frac{3}{2}\]
এখানে,
\[x = \ln \left(\frac{3}{2}\right)\]
ধাপ 4: ক্ষুদ্রতম মান নির্ণয়
এখন, \(f(x)\) এর মান নির্ণয় করি:
\[f\left(\ln \left(\frac{3}{2}\right)\right) = 4e^{\ln \left(\frac{3}{2}\right)} + 9e^{-\ln \left(\frac{3}{2}\right)}\]
উপাদানগুলো সহজ করি:
\[= 4 \times \frac{3}{2} + 9 \times \frac{2}{3}\]
\[= 4 \times \frac{3}{2} + 9 \times \frac{2}{3}\]
\[= 2 \times 3 + 3 \times 2\]
\[= 6 + 6 = 12\]
অতএব,
ফাংশনের ক্ষুদ্রতম মান হলো: 12