x এর কোন মানের জন্য  f(x)=x/lnx সর্বনিম্ন হবে-

Explanation:

Another Explanation (5): x এর কোন মানের জন্য \( f(x) = \frac{x}{\ln x} \) সর্বনিম্ন হবে, তা নির্ণয় করা হলো: \( f(x) \) এর সর্বনিম্ন মান বের করার জন্য প্রথমে এর অন্তরীকরণ (derivative) বের করতে হবে। \( f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{\ln x} \right) \) এখানে, ভাগফলের নিয়ম (quotient rule) ব্যবহার করে পাই: \( f'(x) = \frac{(\ln x)(1) - (x)\left(\frac{1}{x}\right)}{(\ln x)^2} = \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \) এখন, \( f'(x) = 0 \) হলে চরম বা অবম মান পাওয়া যায়। সুতরাং, \( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} = 0 \) \( \ln x - 1 = 0 \) \( \ln x = 1 \) \( x = e^1 = e \) এখন দ্বিতীয় অন্তরীকরণ (second derivative) বের করে \( x = e \) বিন্দুতে এর মান পরীক্ষা করতে হবে। \( f''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \right) \) এখানেও ভাগফলের নিয়ম ব্যবহার করতে হবে: \( f''(x) = \frac{(\ln x)^2 \left(\frac{1}{x}\right) - (\ln x - 1) \left(2(\ln x)\left(\frac{1}{x}\right)\right)}{(\ln x)^4} \) \( = \frac{\frac{(\ln x)^2}{x} - \frac{2\ln x (\ln x - 1)}{x}}{(\ln x)^4} \) \( = \frac{(\ln x)^2 - 2(\ln x)^2 + 2\ln x}{x(\ln x)^4} \) \( = \frac{-\ln^2 x + 2\ln x}{x(\ln x)^4} = \frac{-\ln x + 2}{x(\ln x)^3} \) এখন \( x = e \) বিন্দুতে \( f''(x) \) এর মান: \( f''(e) = \frac{-\ln e + 2}{e(\ln e)^3} = \frac{-1 + 2}{e(1)^3} = \frac{1}{e} \) যেহেতু \( f''(e) = \frac{1}{e} > 0 \), তাই \( x = e \) বিন্দুতে \( f(x) \) এর মান সর্বনিম্ন হবে। 🎉 সুতরাং, \( x = e \) এর জন্য \( f(x) = \frac{x}{\ln x} \) সর্বনিম্ন হবে।✅