\( \omega \) যদি এককের একটি জটিল ঘনমূল হয়, তবে \( (1-\omega+\omega^2) (1-\omega^2+\omega^4) \) এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( \omega \) যদি এককের একটি জটিল ঘনমূল হয়, তবে \( (1-\omega+\omega^2) (1-\omega^2+\omega^4) \) এর মান কি? সমাধান: ধরা যাক, \( \omega \) হলো \( n \)-মের একটি মূল, যেখানে \( \omega^n = 1 \) এবং \( \omega \neq 1 \)। সাধারণত, \( \omega \) হয় \( n \)-মের মূল, অর্থাৎ \( \omega^n = 1 \)। এখানে, আমরা ধরে নিই \( \omega \) হলো ত্রৈমাসিক মূল (৩-মের মূল), অর্থাৎ \( n=3 \) এবং \( \omega^3=1 \)। তাহলে, \( \omega^3=1 \)। প্রথমে, \( \omega^4 \) এর মান নির্ণয় করি: \[ \omega^4 = \omega^{3+1} = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega \] এখন, মূল সমূহের পরিচিতি অনুযায়ী, \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \) (ত্রৈমাসিক মূলের সমূহের জন্য)। পরবর্তী পদক্ষেপে, আমরা \( (1-\omega+\omega^2) \) এবং \( (1-\omega^2+\omega^4) \) এর মান নির্ণয় করব। প্রথম অংশ: \[ A = 1 - \omega + \omega^2 \] দ্বিতীয় অংশ: \[ B = 1 - \omega^2 + \omega^4 \] প্রথমে, \( B \): \[ B = 1 - \omega^2 + \omega \] কারণ, \( \omega^4 = \omega \)। এখন, \( A \) ও \( B \) এর মান: \[ A = 1 - \omega + \omega^2 \] \[ B = 1 - \omega^2 + \omega \] দুটি সমান, কারণ: \[ A = 1 - \omega + \omega^2 \] \[ B = 1 + \omega - \omega^2 \] উভয়কে যোগ করলে: \[ A \times B = (1 - \omega + \omega^2) \times (1 + \omega - \omega^2) \] এখন, চলুন এই গুণফলটি সমাধান করি। গুণফল: \[ (1 - \omega + \omega^2)(1 + \omega - \omega^2) \] এটি প্রসারিত করি: \[ = 1 \times (1 + \omega - \omega^2) + (-\omega) \times (1 + \omega - \omega^2) + \omega^2 \times (1 + \omega - \omega^2) \] বিস্তার করি: \[ = (1 + \omega - \omega^2) + (-\omega - \omega^2 + \omega^3) + (\omega^2 + \omega^3 - \omega^4) \] এখানে, আমরা জানি: \[ \omega^3 = 1, \quad \omega^4 = \omega \] অতএব, প্রতিস্থাপন করি: \[ = (1 + \omega - \omega^2) + (-\omega - \omega^2 + 1) + (\omega^2 + 1 - \omega) \] এখন, সব প্যারা যোগ করি: \[ = 1 + \omega - \omega^2 - \omega - \omega^2 + 1 + \omega^2 + 1 - \omega \] সংক্ষেপে: \[ = (1 + 1 + 1) + (\omega - \omega - \omega) + (- \omega^2 - \omega^2 + \omega^2) \] সামঞ্জস্য করি: \[ = 3 + (- \omega) + (- \omega^2) \] তাহলে, \[ A \times B = 3 - \omega - \omega^2 \] আমরা জানি, \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \) অর্থাৎ, \[ \omega + \omega^2 = -1 \] অতএব, \[ A \times B = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4 \] অতএব, \[ \boxed{ \text{উত্তর} = 4 } \]