√3sinθ + cosθ এর সর্বোচ্চ মান কত? 

প্রশ্ন: \( \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta \) এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:

ধরি, \( f(\theta) = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta \)

আমরা \( f(\theta) \) কে \( R\sin(\theta + \alpha) \) আকারে প্রকাশ করতে পারি, যেখানে \( R > 0 \) এবং \( \alpha \) একটি ধ্রুবক।

তাহলে, \( f(\theta) = R\sin(\theta + \alpha) = R(\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha) \)

এখন, উভয় দিকে তুলনা করে পাই:

\( R\cos\alpha = \sqrt{3} \) ...(1)

\( R\sin\alpha = 1 \) ...(2)

(1) এবং (2) নং সমীকরণ বর্গ করে যোগ করে পাই,

\( R^2\cos^2\alpha + R^2\sin^2\alpha = (\sqrt{3})^2 + 1^2 \)

\( R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) = 3 + 1 \)

\( R^2 = 4 \)

\( R = \sqrt{4} = 2 \) (যেহেতু \( R > 0 \))

সুতরাং, \( f(\theta) = 2\sin(\theta + \alpha) \)

আমরা জানি, \( \sin(\theta + \alpha) \) এর সর্বোচ্চ মান 1।

অতএব, \( f(\theta) \) এর সর্বোচ্চ মান \( = 2 \times 1 = 2 \)

সুতরাং, \( \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta \) এর সর্বোচ্চ মান হল 2। 🎉