\( x = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3}) \) একটি এককের ঘনমূল হলে, \( x^6 + x^{-6} \) এর মান কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে দেওয়া হয়েছে: \[ x = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt{3}) \] আমরা জানি যে, \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \) এবং \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), তাই: \[ x = \cos 120^\circ + i \sin 120^\circ = e^{i \cdot 120^\circ} \] অর্থাৎ, \( x \) একটি ইউনিটির ঘনমূল, যেখানে: \[ x = e^{i \frac{2\pi}{3}} \] এখন, চেক করি: \[ x^6 = \left(e^{i \frac{2\pi}{3}}\right)^6 = e^{i \frac{2\pi}{3} \times 6} = e^{i 4\pi} = (\text{কারো জন্য } e^{i 4\pi} = 1) \] অর্থাৎ: \[ x^6 = 1 \] এবং, \[ x^{-6} = (x^6)^{-1} = 1^{-1} = 1 \] অতএব, \[ x^6 + x^{-6} = 1 + 1 = 2 \] **উত্তর:** \(\boxed{2}\)