\( a \) এর কোন মানের জন্য \( (1 + a)^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x \) এবং \( x^2 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হবে?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( a \) এর কোন মানের জন্য \( (1 + a)^8 \) এর বিস্তৃতিতে \( x \) এবং \( x^2 \) এর স??গদ্বয় পরস্পর সমান হবে? সমাধান: ধরা যাক, \( (1 + a)^8 \) এর বিস্তৃতি টি \( (1 + a + x)^8 \) এর মতো, যেখানে \( x \) এর জন্য সাধারণত টার্মের সহগ নির্ণয় করা হয়। তবে, প্রশ্নে সরাসরি \( (1 + a)^8 \) এর বিস্তৃতি উল্লেখ থাকায়, বুঝতে হবে যে এটি বাইনোমিয়াল তত্ত্বের সাধারণ বিস্তৃতি: \[ (1 + a)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} 1^{8-k} a^k \] এখানে, প্রতিটি টার্মের সাধারণ রূপ: \[ \binom{8}{k} a^k \] তবে, প্রশ্নে উল্লেখ আছে \( x \) এবং \( x^2 \) এর সহগদ্বয়। অর্থাৎ, বিস্তৃতিতে কোন টার্মের সহগ হলো \( x \) এবং অন্যের সহগ হলো \( x^2 \)। যদি ধরে নেওয়া হয় যে এই বিস্তৃতি \( (1 + a + x)^8 \) এর, তবে সাধারণত: \[ (1 + a + x)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (a + x)^k \] এবং, \[ (a + x)^k = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} a^{k-j} x^j \] তবে, এই ক্ষেত্রে, \( x \) এর সহগগুলো \( j \)-এর মান অনুযায়ী। আমাদের মূল লক্ষ্য হলো \( x \) এবং \( x^2 \) এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হওয়া। সুতরাং, প্রথমে, \( x \) এর সহগ নির্ণয় করি: \[ \text{Coefficient of } x \text{ in } (1 + a + x)^8 \] এটি হল: \[ \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} a^{k-1} \binom{k}{1} \] কারণ, \( x \) এর জন্য টার্মে \( j=1 \): \[ \text{Coefficient of } x = \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} a^{k-1} \times k \] অন্যদিকে, \( x^2 \) এর সহগ: \[ \text{Coefficient of } x^2 = \sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} a^{k-2} \times \binom{k}{2} \] এখন, এই দুই সহগের সমান হওয়া শর্তে: \[ \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} a^{k-1} \times k = \sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} a^{k-2} \times \binom{k}{2} \] এখন, \( a \) এর জন্য মান নির্ণয় করি। প্রথম, সাধারণত, এই ধরনের প্রশ্নে, \( a \) এর মান নির্ণয়ে সাধারণ ধাপ হলো মূল সমীকরণ গঠন করে সমাধান করা। তাই, প্রথমে \( x \) সহগের সমীকরণ: \[ \text{Coefficient of } x = \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} a^{k-1} k \] \[ = \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} k a^{k-1} \] এবং, জানি: \[ \frac{d}{da} (1 + a)^8 = 8(1 + a)^7 \] এবং, \[ \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} a^{k} = (1 + a)^8 \] তাহলে, \[ \sum_{k=1}^{8} \binom{8}{k} k a^{k-1} = \frac{d}{da} (1 + a)^8 = 8(1 + a)^7 \] অর্থাৎ, \[ \text{Coefficient of } x = 8 (1 + a)^7 \] একইভাবে, \( x^2 \) এর সহগ: \[ \sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} a^{k-2} \binom{k}{2} \] এটি হিসাব করা ??ায়: \[ \sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} \frac{k(k-1)}{2} a^{k-2} \] তাই, \[ = \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{8} \binom{8}{k} k(k-1) a^{k-2} \] অর্থাৎ, \[ \text{Coefficient of } x^2 = \frac{1}{2} \times \frac{d^2}{da^2} (1 + a)^8 \] কারণ, \[ \frac{d^2}{da^2} (1 + a)^8 = 8 \times 7 (1 + a)^6 = 56 (1 + a)^6 \] অতএব, \[ \text{Coefficient of } x^2 = \frac{1}{2} \times 56 (1 + a)^6 = 28 (1 + a)^6 \] অতএব, শর্ত অনুযায়ী: \[ 8 (1 + a)^7 = 28 (1 + a)^6 \] অর্থাৎ, \[ 8 (1 + a)^7 = 28 (1 + a)^6 \] দুটি পক্ষ ভাগ করি \( (1 + a)^6 \) দ্বারা: \[ 8 (1 + a) = 28 \] অতএব, \[ (1 + a) = \frac{28}{8} = \frac{7}{2} \] অর্থাৎ, \[ a = \frac{7}{2} - 1 = \frac{7}{2} - \frac{2}{2} = \frac{5}{2} \] তবে, এখানে মূল প্রশ্নে দেওয়া উত্তর হলো \( \frac{2}{7} \)। এটি সম্ভবত ভুল বোঝাবুঝির জন্য বা অন্য ধরণের বিস্তৃতি বা ফর্মুলা থেকে এসেছে। আসুন, যদি আমরা মূলত বিস্তৃতি \( (1 + a x)^8 \) ধরি, তবে: \[ (1 + a x)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} a^k x^k \] তাহলে, \( x \) সহগ: \[ \binom{8}{1} a = 8a \] এবং \( x^2 \) সহগ: \[ \binom{8}{2} a^2 = 28 a^2 \] প্রশ্নে বলেছে, এই দুটি সহগ সমান: \[ 8a = 28 a^2 \] অর্থাৎ, \[ 28 a^2 - 8a = 0 \] \[ a (28a - 8) = 0 \] অর্থাৎ, \[ a = 0 \quad \text{অথবা} \quad 28a = 8 \Rightarrow a = \frac{8}{28} = \frac{2}{7} \] এখানে, মূল উত্তরের জন্য: \[ a = \frac{2}{7} \] সুতরাং, সঠিক মান হলো:

উত্তর: \( \frac{2}{7} \)