\( \sqrt[4]{-81} \)

সমাধান:

প্রশ্ন: \( \sqrt[4]{-81} \)

আমরা প্রথমে লক্ষ্য করি যে, এখানে চতুর্থ মূলটি নেওয়া হচ্ছে একটি নেতিবাচক সংখ্যার, অর্থাৎ \( -81 \)। এটি সমাধানের জন্য, আমরা মূলত জ্যামিতিক পদ্ধতি ব্যবহার করব।

ধাপ ১: সংখ্যাটির ম্যাগনিটিউড ও অংক নির্ণয়

প্রথমে, অংকটি রূপান্তর করি মূল রূপে:

\( -81 = 81 \times (-1) \)

এবং, \( 81 = 3^4 \), কারণ \( 3^4 = 81 \)।

ধাপ ২: জ্যামিতিক রূপে সংখ্যার উপস্থাপনা

বিষয়টি জ্যামিতিকভাবে বোঝাতে, আমরা লিখি:

\( -81 = 81 \times e^{i\pi} \) (কারণ \( e^{i\pi} = -1 \))

অর্থাৎ,

\( -81 = 3^4 \times e^{i\pi} \)

ধাপ ৩: চতুর্থ মূলের জন্য মূল রূপ নির্ণয়

চতুর্থ মূলের জন্য, আমরা ব্যবহার করব:

\( \sqrt[4]{-81} = \sqrt[4]{3^4 \times e^{i\pi}} \)

এখানে, মূলের গুণফল হিসেবে, পাই:

\( \sqrt[4]{a \times b} = \sqrt[4]{a} \times \sqrt[4]{b} \)

অতএব,

\( \sqrt[4]{-81} = \sqrt[4]{3^4} \times \sqrt[4]{e^{i\pi}} \)

এবং,

\( \sqrt[4]{3^4} = 3 \)

এবং,

\( \sqrt[4]{e^{i\pi}} = e^{i\pi/4} \)

ধাপ ৪: মূলের সাধারণ রূপ

সুতরাং, মূলের সাধারণ রূপ হলো:

\( \sqrt[4]{-81} = 3 \times e^{i(\pi/4 + k \pi/2)} \), যেখানে \( k = 0, 1, 2, 3 \)।

ধাপ ৫: মূলের মান নির্ণয়

প্রতিটি মানের জন্য, আমরা পাই:

• যখন \( k=0 \): \( 3 e^{i\pi/4} = 3 (\cos \pi/4 + i \sin \pi/4) = 3 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} (1 + i) \)
• যখন \( k=1 \): \( 3 e^{i 3\pi/4} = 3 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} (-1 + i) \)
• যখন \( k=2 \): \( 3 e^{i 5\pi/4} = 3 \left(-\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} (-1 - i) \)
• যখন \( k=3 \): \( 3 e^{i 7\pi/4} = 3 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\sqrt{2}}{2} (1 - i) \)

চূড়ান্ত উত্তর:

অতএব, চতুর্থ মূলের মানগুলি হলো:

\( \pm \frac{3\sqrt{2}}{2} (1 \pm i) \)

অথবা, মূলত:

\( \pm 3 \sqrt{2} (1 \pm i) \)

উপসংহার:

অতএব,

\[ \boxed{ \sqrt[4]{-81} = \pm 3 \sqrt{2} (1 \pm i) } \]