\( (1-x+x^2)^{-1} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{13} \)-এর সহগ কত?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্ন: \( (1 - x + x^2)^{-1} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{13} \)-এর সহগ কত? আমরা চাই এই রৈখিক বিকরণটির টেইলার বিস্তৃতি নির্ণয় করতে যেখানে: \[ f(x) = \frac{1}{1 - x + x^2} \] প্রথমে লক্ষ্য করি যে, এই ধরনের রৈখিক বিকরণকে সাধারণ রূপে প্রকাশ করতে পারি না সরাসরি। তবে, আমরা এই রৈখিক বিকরণটির জন্য সাধারণত নিম্নলিখিত পদ্ধতি অনুসরণ করি: \[ f(x) = \frac{1}{1 - (x - x^2)} \] এখানে, \[ f(x) = \frac{1}{1 - u}, \quad \text{যেখানে} \quad u = x - x^2 \] এবং এর বিস্তৃতি: \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} u^n \] অর্থাৎ, \[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (x - x^2)^n \] এখন, প্রতিটি সাধারণ টার্মে: \[ (x - x^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k} (-x^2)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{k} (-1)^{n-k} x^{2(n-k)} \] একত্র করলে: \[ (x - x^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{n-k} x^{k + 2(n - k)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^{n-k} x^{2n - k} \] অতএব, প্রতিটি টার্মের শক্তি: \[ x^{2n - k} \] এবং সহগ: \[ \binom{n}{k} (-1)^{n-k} \] আমাদের লক্ষ্য \( x^{13} \)-এর সহগ খুঁজে বের করা, অর্থাৎ, \[ 2n - k = 13 \] এবং, \[ k \leq n \] এখন, \( k \) এর জন্য: \[ k = 2n - 13 \] কারণ \( k \geq 0 \), তাহলে: \[ 2n - 13 \geq 0 \Rightarrow 2n \geq 13 \Rightarrow n \geq 7 \] এছাড়া, \( k \leq n \), অর্থাৎ: \[ 2n - 13 \leq n \Rightarrow 2n - n \leq 13 \Rightarrow n \leq 13 \] অতএব, \( n \) এর মান হতে হবে: \[ 7 \leq n \leq 13 \] প্রতিটি মানের জন্য, \( k = 2n - 13 \) হবে এবং সহগ: \[ \binom{n}{k} (-1)^{n - k} \] সুতরাং, \( x^{13} \)-এর সহগ হবে: \[ \sum_{n=7}^{13} \binom{n}{2n - 13} (-1)^{n - (2n - 13)} \] সরলীকরণ: \[ n - (2n - 13) = n - 2n + 13 = -n + 13 \] তাই, \[ \text{সহগ} = \sum_{n=7}^{13} \binom{n}{2n - 13} (-1)^{13 - n} \] এখন, প্রতিটি মানের জন্য গণনা করি: | n | \(k=2n-13\) | \( (-1)^{13 - n} \) | \(\binom{n}{k}\) | সহগ অংশ | |---|--------------|----------------------|----------------|---------| | 7 | \(2*7 - 13=14 - 13=1\) | \((-1)^{13-7} = (-1)^6=1\) | \(\binom{7}{1} = 7\) | \(7 \times 1=7\) | | 8 | \(16-13=3\) | \((-1)^{5} = -1\) | \(\binom{8}{3} = 56\) | \(56 \times (-1) = -56\) | | 9 | \(18-13=5\) | \((-1)^{4} = 1\) | \(\binom{9}{5} = 126\) | \(126 \times 1=126\) | | 10 | \(20-13=7\) | \((-1)^{3} = -1\) | \(\binom{10}{7} = 120\) | \(-120\) | | 11 | \(22-13=9\) | \((-1)^{2} = 1\) | \(\binom{11}{9} = 55\) | \(55\) | | 12 | \(24-13=11\) | \((-1)^{1} = -1\) | \(\binom{12}{11} = 12\) | \(-12\) | | 13 | \(26-13=13\) | \((-1)^{0} = 1\) | \(\binom{13}{13} = 1\) | \(1\) | যোগফল: \[ 7 - 56 + 126 - 120 + 55 - 12 + 1 = (7 - 56) + 126 - 120 + 55 - 12 + 1 \] \[ = -49 + 126 - 120 + 55 - 12 + 1 \] \[ = 77 - 120 + 55 - 12 + 1 \] \[ = -43 + 55 - 12 + 1 \] \[ = 12 - 12 + 1 = 1 \] অতএব, \( (1 - x + x^2)^{-1} \) এর বিস্তৃতিতে \( x^{13} \)-এর সহগ **1**।

উত্তর:

1