একক উচ্চতার একজন ব্যক্তি z=10sin2πx গ্রাফ ধরে x-অক্ষ বরাবর মূলবিন্দু নূন্যতম কত দূরত্ব গেলে বিস্তার ও লেঅকটির উচ্চতা সমান হবে?

ধরা যাক, একক উচ্চতার ব্যক্তি তার উচ্চতা \(z\) দ্বারা প্রকাশ পায় যেখানে:

\[ z = 10 \sin 2\pi x \]

এবং তার অবস্থান \(x\)-অক্ষ বরাবর।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, যখন ব্যক্তি তার মৌলিক বিন্দু থেকে কত দূরত্বে যাবে, তখন তার উচ্চতা সমান হবে তার বিস্তার ও লেঅকের উচ্চতার।

তাহলে, প্রথমে ব্যক্তির বিস্তার ও লেঅকের উচ্চতা নির্ণয় করি।

ধরা যাক, ব্যক্তির বিস্তার বা বিস্তার উচ্চতা হলো তাঁর সর্বোচ্চ উচ্চতা, অর্থাৎ:

\[ \text{বিস্তার} = 10 \]

এবং লেঅকের উচ্চতা হলো তার অবস্থান থেকে উচ্চতা।

তাহলে, ব্যক্তির বর্তমান উচ্চতা \(z\) হয়:

\[ z = 10 \sin 2\pi x \]

উচ্চতা ও বিস্তার সমান হবে, যদি:

\[ z = \text{বিস্তার} \] \[ 10 \sin 2\pi x = 10 \] \[ \sin 2\pi x = 1 \]

এখান থেকে, \(\sin 2\pi x = 1\) হয় যখন:

\[ 2\pi x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

অর্থাৎ:

\[ x = \frac{1}{4} + k \] (যেখানে \(k\) হলো পূর্ণসংখ্যা)

এখন, ব্যক্তি যখন তার মূল বিন্দু থেকে দূরত্বে যাবে, তখন তার উচ্চতা সমান হবে বিস্তার ও লেঅকের উচ্চতার।

তবে, মূলবিন্দু বলতে আমরা যেখানে \(x=0\), অর্থাৎ শুরুর বিন্দু, সেখানে থেকে দূরত্বে গেলে তার উচ্চতা কত হবে, সেটি বিবেচনা করি।

এখন, ব্যক্তির উচ্চতা:

\[ z = 10 \sin 2\pi x \]

এবং তার জন্য উচ্চতা সমান হবে বিস্তার (১০) তখন, যখন \(\sin 2\pi x=1\), অর্থাৎ \(x=\frac{1}{4} + k\)।

তবে, প্রশ্নের মূল বক্তব্য অনুযায়ী, যখন ব্যক্তি মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব \(d\), তখন তার উচ্চতা ও উচ্চতার বিস্তার সমান হবে।

উচ্চতা \(z\) এর মান তখন:

\[ z = 10 \sin 2\pi d \]

এবং এই উচ্চতা সমান হবে বিস্তার (১০) এর, অর্থাৎ:

\[ 10 \sin 2\pi d = 10 \] \[ \sin 2\pi d = 1 \] \[ 2\pi d = \frac{\pi}{2} + 2k\pi \] \[ d = \frac{1}{4} + k \]

এখন, মূলবিন্দু থেকে দূরত্বের মান হলো \(d = \frac{1}{4} + k\)।

প্রথম নূন্যতম দূরত্বের জন্য যেখানে \(k=0\), সেটি হলো:

\[ d = \frac{1}{4} \]

অতএব, মূলবিন্দু থেকে নূন্যতম দূরত্ব যেখানে ব্যক্তির উচ্চতা ও বিস্তার সমান হবে, সেটি হলো \(\boxed{\frac{1}{4}}\)।