i এর বর্গমূল কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(i\) এর বর্গমূল কোনটি? উত্তর: প্রথমে, আমরা জানি যে: \[ i = 0 + 1i \] অর্থাৎ, এটি একটি জ্যামিতিক বিন্দু বা জ্যামিতিক ভেক্টর যা ত্রিভুজের অর্ধেক বৃত্তের উপর অবস্থিত। এখন, আমরা এমন সংখ্যার সন্ধান করি যা \(i\) এর বর্গমূল, অর্থাৎ: \[ z = a + bi \] যেখানে \(a\) এবং \(b\) বাস্তব সংখ্যা। তাহলে, \[ z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 \] যেহেতু, \(i^2 = -1\), তাই: \[ z^2 = (a^2 - b^2) + 2ab i \] আমাদের প্রয়োজন: \[ z^2 = i = 0 + 1i \] অর্থাৎ, \[ a^2 - b^2 = 0 \quad \text{(1)} \] \[ 2ab = 1 \quad \text{(2)} \] প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ a^2 = b^2 \] অর্থাৎ, \[ a = \pm b \] এখন, সমীকরণ (2) অনুযায়ী: \[ 2ab = 1 \] যদি \(a = b\): \[ 2a \times a = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \] অতএব, \[ a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] অর্থাৎ, যখন \(a = b\): \[ b = a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] এখন, যদি \(a = -b\): \[ 2a \times (-a) = 1 \Rightarrow -2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = -\frac{1}{2} \] যা সম্ভব নয় বাস্তব সংখ্যার জন্য। সুতরাং, সমাধান হলো: \[ a = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad b = \frac{1}{\sqrt{2}} \] বা \[ a = -\frac{1}{\sqrt{2}}, \quad b = -\frac{1}{\sqrt{2}} \] অর্থাৎ, দুটি সমাধান: \[ z = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \] অথবা, \[ z = -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i \] অথবা, সাধারণত এই সংখ্যা গুলিকে রেডিয়ান বা ট্রিগোনোমেট্রিক ফর্মে প্রকাশ করলে: \[ z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \] সুতরাং, \(i\) এর বর্গমূল হলো: \[ \boxed{ \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) } \]