Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \( \sqrt{i} + \sqrt{-i} \) এর মান নির্ণয় করো।
ধাপ ১: \(\sqrt{i}\) নির্ণয় করা
ধরি, \( \sqrt{i} = a + bi \), যেখানে \(a, b\) বাস্তব সংখ্যা।
তাহলে,
\[
(a + bi)^2 = i
\]
বিস্তৃত করো:
\[
a^2 + 2abi + (bi)^2 = i
\]
যেখানে,
\[
a^2 + 2abi - b^2 = i
\]
অর্থাৎ,
\[
(a^2 - b^2) + 2ab i = 0 + 1 i
\]
তাহলে, বাস্তব অংশ সমানুপাতিক:
\[
a^2 - b^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a^2 = b^2
\]
এবং কাল্পনিক অংশ সমানুপাতিক:
\[
2ab = 1
\]
অতএব,
\[
a^2 = b^2
\]
\[
2ab = 1
\]
প্রথম থেকে, \(b = \pm a\), তবে \(2ab = 1\) দিয়ে:
\[
2a (\pm a) = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
\pm 2a^2 = 1
\]
তাই,
\[
2a^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{1}{2}
\]
অতএব,
\[
a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
এবং,
\[
b = \pm a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
চয়ন করি, \(a = \frac{1}{\sqrt{2}}\) এবং \(b = \frac{1}{\sqrt{2}}\), কারণ এটি মূল মানের জন্য উপযুক্ত।
অতএব,
\[
\sqrt{i} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i
\]
ধাপ ২: \(\sqrt{-i}\) নির্ণয় করা
\[
\sqrt{-i} = c + di
\]
অতএব,
\[
(c + di)^2 = -i
\]
বিস্তৃত করো:
\[
c^2 + 2 c d i + (d i)^2 = -i
\]
\[
c^2 + 2 c d i - d^2 = -i
\]
অর্থাৎ,
\[
(c^2 - d^2) + 2 c d i = 0 - 1 i
\]
তাই,
\[
c^2 - d^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad c^2 = d^2
\]
\[
2 c d = -1
\]
চয়ন করি, \(c = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(d = - \frac{1}{\sqrt{2}}\), কারণ:
\[
2 c d = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \left(- \frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -1
\]
অতএব,
\[
\sqrt{-i} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i
\]
ধাপ ৩: যোগফল নির্ণয়
অতএব,
\[
\sqrt{i} + \sqrt{-i} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i\right)
\]
সংখ্যাগুলি যোগ করো:
\[
= \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} i - \frac{1}{\sqrt{2}} i\right)
\]
\[
= \frac{2}{\sqrt{2}} + 0
\]
\[
= \sqrt{2}
\]
উত্তর:
\[
\boxed{\sqrt{2}}
\]
