sqrt(-2i)=?

সমাধান:

প্রশ্ন: \(\sqrt{-2i} = ?\)

ধাপ ১: মূলের গুণফল হিসেবে রূপান্তর

আমরা জানি যে, যদি \(z = \sqrt{w}\), তাহলে \(z^2 = w\)। এখানে, \(w = -2i\)। তাহলে, আমাদের দরকার \(\sqrt{-2i}\) এর মান।

ধাপ ২: মৌলিক রূপে রূপান্তর

প্রথমে, \(-2i\) কে তার সমাকলনের (polar form) মাধ্যমে রূপান্তর করি।

\(-2i\) এর মূলাঙ্ক (magnitude):

• \(r = | -2i | = 2\)

অ্যাঙ্গেল (argument):

• \(\theta = \arg(-2i)\)
• যেহেতু, \(-2i\) মূলত নিচে অবস্থিত, তাই \(\theta = -\frac{\pi}{2}\)

অতএব, \(-2i\) এর polar রূপ:

\(w = 2 \text{cis} \left( -\frac{\pi}{2} \right)\)

ধাপ ৩: মূলের জন্য রূপান্তর

\(\sqrt{w}\) এর জন্য, আমরা ব্যবহার করব:

\[ \sqrt{w} = \sqrt{r} \text{cis} \left( \frac{\theta + 2k\pi}{2} \right), \quad k = 0,1 \]

ধাপ ৪: মান নির্ণয়

• একটি মূলের জন্য:
• \(k=0\):
• \[ z = \sqrt{2} \text{cis} \left( \frac{-\frac{\pi}{2} + 2 \times 0 \pi}{2} \right) = \sqrt{2} \text{cis} \left( -\frac{\pi}{4} \right) \]
• অন্য একটি মূলের জন্য:
• \(k=1\):
• \[ z = \sqrt{2} \text{cis} \left( \frac{-\frac{\pi}{2} + 2 \pi}{2} \right) = \sqrt{2} \text{cis} \left( \frac{3\pi}{4} \right) \]

ধাপ ৫: কারেকট রূপান্তর

\(\text{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta\)

প্রথম মান:

\[
z_1 = \sqrt{2} \left( \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \right)
= \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
= 1 - i
\]

দ্বিতীয় মান:

\[
z_2 = \sqrt{2} \left( \cos \left( \frac{3\pi}{4} \right) + i \sin \left( \frac{3\pi}{4} \right) \right)
= \sqrt{2} \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
= -1 + i
\]

উত্তর:

অতএব,

\(\sqrt{-2i} = \pm (1 - i)\)