The value of sqrti 

Another Explanation (5):

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: The value of \(\sqrt{i}\)

আমরা জানি, যদি \(z = \sqrt{i}\), তবে \(z^2 = i\)। এখন এই সমীকরণ সমাধান করতে হবে।

প্রথমে, ধরা যাক \(z = a + bi\), যেখানে \(a\) এবং \(b\) বাস্তব সংখ্যা।

তাহলে,

\[ z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi - b^2 \] (কারণ, \(i^2 = -1\))।

এখন, এটি বাস্তব ও কাল্পনিক অংশে বিভক্ত করি:

\[ z^2 = (a^2 - b^2) + 2ab i \]

এখন, এই মান অবশ্যই \(i\) এর সমান, অর্থাৎ:

\[ a^2 - b^2 = 0 \quad \text{(বাস্তব অংশ)} \] \[ 2ab = 1 \quad \text{(কাল্পনিক অংশ)} \]

প্রথম সমীকরণ থেকে:

\[ a^2 = b^2 \Rightarrow a = \pm b \]

এখন, দ্বিতীয় সমীকরণে রাখি:

\[ 2a b = 1 \]

যদি \(a = b\), তবে:

\[ 2a \times a = 1 \Rightarrow 2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \] এবং, তখন \(b = a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}\).

অর্থাৎ, দুটি সমাধান পাওয়া যায়:

\[ z = a + bi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i \quad \text{বা} \quad -\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i \]

যেখানে, \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)। তাই, সমাধানগুলো হলো:

\[ z = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \quad \text{বা} \quad -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} i \]

এবং, এই দুইটি সমাধানকে সাধারণভাবে লিখতে পারি:

\[ z = \pm \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i \right) \]

অথবা, এটি লিখতে পারি:

\[ z = \pm \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) = \pm \left( \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \right) \]

অতএব, মূল উত্তর হলো:

<p class="mathy">±\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}\right) = ±\frac{1 + i}{\sqrt{2}}</p>