z = (5-i)/(2-3i)

(z - 1) এর বর্গমূল কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্নে দেওয়া সমীকরণ হলো: \[ z = \frac{5 - i}{(2 - 3i)(z - 1)} \] আমরা লক্ষ্য করছি যে, এই সমীকরণের সমাধান করতে হলে প্রথমে সমীকরণকে সোজা করে লিখতে হবে। প্রথমে উভয় পাশের সমীকরণকে সমান ধরে নিয়ে সমাধান শুরু করি: \[ z (2 - 3i)(z - 1) = 5 - i \] আমরা লক্ষ্য করছি, এখানে \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। তবে, এই সমীকরণে সবচেয়ে সহজ উপায় হলো গুণন ভগ্নাংশের মান নির্ণয় করা, অর্থাৎ \[ z = \frac{5 - i}{(2 - 3i)(z - 1)} \] তাহলে, যদি আমরা \(z\) এর মান নির্ণয় করি, তবে আমাদের মূল লক্ষ্য হলো \(z\) এর মানের বর্গমূল নির্ণয় করা। তাহলে প্রথমে \(z\) এর মান নির্ণয় করি। ### ধাপ ১: বিভাজকের মান নির্ণয় প্রথমে, বিভাজক \((2 - 3i)(z - 1)\) এর মান নির্ণয় করি। তবে, এখানে দেখা যাচ্ছে যে, এই সমীকরণে \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হলে, \(z\) এর মান দিয়ে সমীকরণ গঠন করতে হবে। অতএব, প্রথমে আমরা সমীকরণকে পুনরায় সাজাই: \[ z \times (2 - 3i)(z - 1) = 5 - i \] এখানে, \(z\) এর মান নির্ণয় করতে পারবো না সরাসরি। ### ধাপ ২: সমীকরণ থেকে \(z\) এর মান নির্ণয় সুতরাং, প্রথমে আমরা সমীকরণকে পুনরায় লিখি: \[ z = \frac{5 - i}{(2 - 3i)(z - 1)} \] এবং, এর জন্য আমাদের দরকার \(z\) এর মান। অতএব, চলুন এই সমীকরণকে \(z\) এর মানে রূপান্তর করি। ### ধাপ ৩: সমীকরণকে পুনরায় সাজানো ধরা যাক, \[ z = x + iy \] অথবা সরাসরি সমাধান করতে গেলে, প্রথমে মূল সমীকরণটি গুণন বিভাজন হিসেবে লিখি: \[ z = \frac{5 - i}{(2 - 3i)(z - 1)} \] এখন, মূলত, এই সমীকরণ থেকে \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হলে, পরবর্তী ধাপে, আমরা পুরো সমীকরণকে গুণন বিভাজন হিসেবে লিখি: \[ z \times (2 - 3i)(z - 1) = 5 - i \] এবং, \[ z (2 - 3i)(z - 1) = 5 - i \] এখানে, \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হলে, আমরা প্রথমে অন্য উপায??ে এগোই। ### ধাপ ৪: মূল সমাধান নির্ণয় উপরে, সমীকরণটি দেখাচ্ছে যে, \(z\) এর মান নির্ণয় করতে হলে, আসলে, সমীকরণটি একটি দ্বিনির্ণয় সমাধান। তবে, প্রশ্নের মূল লক্ষ্য হলো \(z\) এর **বর্গমূল** নির্ণয়। সুতরাং, আমরা যদি ধরে নিই যে, \(z\) এর মান হলো \(a + bi\), তবে আমাদের লক্ষ্য হলো: \[ z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \] কারণ, \[ \left| \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \right| = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{1^2 + 1^2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{2} = 1 \] এবং, \[ \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \right)^2 = \left( \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 (1 + i)^2 \] \[ = \frac{1}{2} (1 + 2i + i^2) = \frac{1}{2} (1 + 2i - 1) = \frac{1}{2} \times 2i = i \] অর্থাৎ, এই মানের বর্গ হলো \(i\)। তাই, এই সমাধানটি হলো \(z\) এর বর্গমূল। ### চূড়ান্ত উত্তর: \[ z = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) \] অর্থাৎ, ```html

± \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i) ``` ### **সংক্ষিপ্ত ব্যাখ্যা:** এই ফলাফল দেখায় যে, \(z\) এর বর্গমূল হলো \(\pm \frac{1}{\sqrt{2}} (1 + i)\)। এটি মূলত একটি ইউনিট গোলকের উপর অবস্থান করে, যেখানে এর মানের মান হল ১ এবং এটি সমাধানের একটি সাধারণ রূপ।