শর্তাধীনে z= 3x + 4y এর সর্বোচ্চ মান কত? 

দেওয়া আছে, \( x \leq 2 \), \( y \geq 3 \) এবং \( y \leq 2x \) শর্তাধীনে \( z = 3x + 4y \) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, আমরা constraint গুলো গ্রাফে প্লট করি:

1. \( x \leq 2 \) : \( x = 2 \) রেখা এবং এর বামদিকের অঞ্চল।
2. \( y \geq 3 \) : \( y = 3 \) রেখা এবং এর উপরের দিকের অঞ্চল।
3. \( y \leq 2x \) : \( y = 2x \) রেখা এবং এর নিচের দিকের অঞ্চল।

এই constraint গুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ অঞ্চলটি হলো ফিজিবল অঞ্চল। ফিজিবল অঞ্চলের শীর্ষবিন্দুগুলো (corner points) বের করতে হবে।

\( y = 3 \) এবং \( y = 2x \) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি:

\( 3 = 2x \) => \( x = \frac{3}{2} = 1.5 \)

সুতরাং, একটি শীর্ষবিন্দু হলো \( (\frac{3}{2}, 3) = (1.5, 3) \)।

\( x = 2 \) এবং \( y = 3 \) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি:

সুতরাং, আরেকটি শীর্ষবিন্দু হলো \( (2, 3) \)।

\( x = 2 \) এবং \( y = 2x \) এর ছেদবিন্দু নির্ণয় করি:

\( y = 2(2) = 4 \)

সুতরাং, আরেকটি শীর্ষবিন্দু হলো \( (2, 4) \)।

এখন, \( z = 3x + 4y \) এর মান এই শীর্ষবিন্দুগুলোতে বের করি:

• \( (1.5, 3) \) : \( z = 3(1.5) + 4(3) = 4.5 + 12 = 16.5 \)
• \( (2, 3) \) : \( z = 3(2) + 4(3) = 6 + 12 = 18 \)
• \( (2, 4) \) : \( z = 3(2) + 4(4) = 6 + 16 = 22 \)

সুতরাং, \( z \) এর সর্বোচ্চ মান হলো 22, যা \( (2, 4) \) বিন্দুতে পাওয়া যায়। 🎉