Lim_(x→pi)(1+cosx)/sinx এর মান হল-

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\sin x}\) এর মান কি? উত্তর: 0 সমাধান: প্রথমে, যখন \(x \to \pi\), তখন \(\cos \pi = -1\) এবং \(\sin \pi = 0\)। তাই, নিউটন-লিমিটের জন্য সরাসরি সাবস্টিটিউশন করলে, \[ \lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{1 + (-1)}{0} = \frac{0}{0} \] এটি an indeterminate form। এখন, লিমিট বের করতে লোপিত-প্রথম পদ্ধতি বা ট্রিগনোমেট্রিক পরিচয় ব্যবহার করি। \[ \frac{1 + \cos x}{\sin x} \] এখানে numerator এর জন্য পরিচয় ব্যবহার করে: \[ 1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2} \] এবং, \(\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}\). সুতরাং, \[ \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{2 \cos^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}} = \cot \frac{x}{2} \] অতএব, \[ \lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to \pi} \cot \frac{x}{2} \] যখন \(x \to \pi\), তখন \(\frac{x}{2} \to \frac{\pi}{2}\)। জানি, \(\cot \frac{\pi}{2} = 0\). অতএব, \[ \boxed{ \lim_{x \to \pi} \frac{1 + \cos x}{\sin x} = 0 } \]