Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে, আমরা দেওয়া সীমাটি বিবেচনা করিঃ
\[
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2}
\]
এখানে, যখন \(x \to \frac{\pi}{2}\), তখন \(\sin x \to 1\), তাই উভয় উভয় অংশই শূন্যের দিকে যায়। এটি একটি \(0/0\) ধরনের অস্পষ্টতা, তাই লিমিট নির্ণয়ের জন্য লিপটিটের বিকল্প ব্যবহার করি।
আমরা পরিবর্তন করি:
\[
h = \frac{\pi}{2} - x
\]
এখন, যখন \(x \to \frac{\pi}{2}\), তখন \(h \to 0\), এবং
\[
x = \frac{\pi}{2} - h
\]
সুতরাং, সীমাটি হয়ে যাবে:
\[
\lim_{h \to 0} \frac{1 - \sin \left(\frac{\pi}{2} - h\right)}{h^2}
\]
আমরা জানি,
\[
\sin \left(\frac{\pi}{2} - h\right) = \cos h
\]
অতএব,
\[
\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2}
\]
এখন, আমরা জানি,
\[
\cos h = 1 - \frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \cdots
\]
সুতরাং,
\[
1 - \cos h = 1 - \left(1 - \frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \cdots \right) = \frac{h^2}{2} - \frac{h^4}{24} + \cdots
\]
অতএব,
\[
\frac{1 - \cos h}{h^2} = \frac{\frac{h^2}{2} - \frac{h^4}{24} + \cdots}{h^2} = \frac{h^2}{2h^2} - \frac{h^4}{24h^2} + \cdots = \frac{1}{2} - \frac{h^2}{24} + \cdots
\]
যখন \(h \to 0\), এই টার্মগুলো শূন্য হয়ে যায়, ফলে,
\[
\lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2} = \frac{1}{2}
\]
অতএব, মূল সীমার মান:
\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]
