lim_(x->pi/2)(1-sinx)/(pi/2-x)^2  = কত ?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে, আমরা দেওয়া সীমাটি বিবেচনা করিঃ \[ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{1 - \sin x}{\left(\frac{\pi}{2} - x\right)^2} \] এখানে, যখন \(x \to \frac{\pi}{2}\), তখন \(\sin x \to 1\), তাই উভয় উভয় অংশই শূন্যের দিকে যায়। এটি একটি \(0/0\) ধরনের অস্পষ্টতা, তাই লিমিট নির্ণয়ের জন্য লিপটিটের বিকল্প ব্যবহার করি। আমরা পরিবর্তন করি: \[ h = \frac{\pi}{2} - x \] এখন, যখন \(x \to \frac{\pi}{2}\), তখন \(h \to 0\), এবং \[ x = \frac{\pi}{2} - h \] সুতরাং, সীমাটি হয়ে যাবে: \[ \lim_{h \to 0} \frac{1 - \sin \left(\frac{\pi}{2} - h\right)}{h^2} \] আমরা জানি, \[ \sin \left(\frac{\pi}{2} - h\right) = \cos h \] অতএব, \[ \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2} \] এখন, আমরা জানি, \[ \cos h = 1 - \frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \cdots \] সুতরাং, \[ 1 - \cos h = 1 - \left(1 - \frac{h^2}{2} + \frac{h^4}{24} - \cdots \right) = \frac{h^2}{2} - \frac{h^4}{24} + \cdots \] অতএব, \[ \frac{1 - \cos h}{h^2} = \frac{\frac{h^2}{2} - \frac{h^4}{24} + \cdots}{h^2} = \frac{h^2}{2h^2} - \frac{h^4}{24h^2} + \cdots = \frac{1}{2} - \frac{h^2}{24} + \cdots \] যখন \(h \to 0\), এই টার্মগুলো শূন্য হয়ে যায়, ফলে, \[ \lim_{h \to 0} \frac{1 - \cos h}{h^2} = \frac{1}{2} \] অতএব, মূল সীমার মান: \[ \boxed{\frac{1}{2}} \]