lim_(x->0) (e^(x^2)-1)/xএর মান কত? 

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x}\)

সমাধান:

প্রথমে, যখন \(x \to 0\), তখন আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, উভয় সংখ্যার মানই 0, তাই এটি একটি অপ্রকাশ্য রূপ। এই পরিস্থিতিতে, আমরা লিমিট নির্ণয়ের জন্য লোপিতের সূত্র বা টেলর সিরিজ ব্যবহার করতে পারি।

এখন, \(e^{x^2}\) এর টেলর সিরিজ প্রকাশ:

\(e^{x^2} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \dots\)

অতএব,

\(e^{x^2} - 1 = x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \dots\)

তাই, লিমিটটি লেখো:

\(\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 + \frac{x^4}{2!} + \dots}{x}\)

উপরে, সমানুপাতিক শব্দটি সরিয়ে দিলে:

\(\lim_{x \to 0} \left( x + \frac{x^3}{2!} + \dots \right)\)

এখন, যখন \(x \to 0\), তাহলে প্রত্যেক টার্মের মানই 0 হবে। সুতরাং,

\(\boxed{0}\)

অতএব, উত্তর হলো: 0