\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \) এর মান কোনটি?

সমাধান:

আমরা লক্ষ্য করছি, \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)

প্রথমে, এই সীমার মান নির্ণয় করার জন্য, আমরা ইলিমিনেশন বা লিমিটের মৌলিক সংজ্ঞা ব্যবহার করতে পারি।

আমরা জানি, \(e^x\) এর টেইলর বিকৃতি (Taylor expansion) হলো:

\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots\)

অতএব, \(e^x - 1\) এর বিকৃতি হবে:

\(e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots\)

এখন, মূল সীমায়, আমরা পেতে পারি:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots}{x} \]

উপরের বিভাজ্য রাশির প্রতিটি টার্মের জন্য, আমরা সাধারণত বিভাজন করি:

\[ = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \dots \right) \]

যেহেতু, \(x \to 0\), তাই সব টার্মের মধ্যে \(x\) এর সাথে সম্পর্কিত টার্মগুলো শূন্যের দিকে যায়, এবং অবশিষ্ট থাকে:

\[ = 1 + 0 + 0 + \dots = 1 \]

অতএব,

\(\boxed{ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 }\)