lim_(x->0)(1-cosx)/x^2  এর মান কত?

প্রশ্ন:

প্রদত্ত সীমা:
\(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}\)

উত্তর:

সমাধানটি নিম্নরূপ:

প্রথমে, আমরা জানি যে, 
\(\cos x\) এর টেইলর বিকৃতি (Taylor series) হল:
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots
\]

এখন, \(1 - \cos x\) এর জন্য:
\[
1 - \cos x = 1 - \left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots \right) = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots
\]

সুতরাং, সীমাটি হবে:
\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + \dots}{x^2}
\]

এখন, numerator এ প্রতিটি টার্মকে \(x^2\) দ্বারা ভাগ করলে:
\[
= \lim_{x \to 0} \left( \frac{x^2}{2x^2} - \frac{x^4}{24x^2} + \dots \right) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} - \frac{x^2}{24} + \dots \right)
\]

যখন \(x \to 0\), সমস্ত ছোটো অংক ধীরে ধীরে শূন্যের দিকে ধাবিত হয়, তাই:
\[
= \frac{1}{2}
\]

অতএব, উত্তরের মান হল:
\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]