lim_(xto0)(1+x)^((3x+2)/x) এর মান কত? 

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{3x+2}{x}} \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \). প্রদত্ত রাশিটিকে আমরা লিখতে পারি,

\( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{3x+2}{x}} = \lim_{x \to 0} (1+x)^{3 + \frac{2}{x}} \)

\(= \lim_{x \to 0} (1+x)^{3} \cdot (1+x)^{\frac{2}{x}} \)

\(= \lim_{x \to 0} (1+x)^{3} \cdot \lim_{x \to 0} [(1+x)^{\frac{1}{x}}]^{2} \)

যেহেতু \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e \), তাই,

\(= (1+0)^{3} \cdot [\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}]^{2} \)

\(= 1^3 \cdot e^2 \)

\(= 1 \cdot e^2 \)

\(= e^2 \)

অতএব, \( \lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{3x+2}{x}} = e^2 \). 🥳

উত্তর: \( e^2 \) 🎉