lim_(xrarr0)(2-sqrt(x+4))/(sin2x)=?

প্রশ্ন:

\( \lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{x+4}}{\sin 2x} = ? \)

সমাধান:

আমরা প্রথমে \(\frac{0}{0}\) আকারের একটি অনির্ণেয় রূপ পাই। তাই, আমরা লব ও হরকে \(2 + \sqrt{x+4}\) দিয়ে গুণ করে পাই,

\( \lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{x+4}}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{(2 - \sqrt{x+4})(2 + \sqrt{x+4})}{\sin 2x (2 + \sqrt{x+4})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \frac{4 - (x+4)}{\sin 2x (2 + \sqrt{x+4})} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{\sin 2x (2 + \sqrt{x+4})} \)

এখন, আমরা \(\frac{\sin 2x}{2x}\) এর রূপ আনার চেষ্টা করি।

\( = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{\sin 2x (2 + \sqrt{x+4})} = \lim_{x \to 0} \frac{-2x}{2\sin 2x (2 + \sqrt{x+4})} \)

\( = \lim_{x \to 0} \frac{-1}{2(2 + \sqrt{x+4})} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} \)

আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin 2x} = 1 \)।

অতএব,

\( = \frac{-1}{2(2 + \sqrt{0+4})} \cdot 1 = \frac{-1}{2(2 + 2)} = \frac{-1}{2(4)} = \frac{-1}{8} \)

সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{x+4}}{\sin 2x} = -\frac{1}{8} \) 🥳

উত্তর: \(-\frac{1}{8}\)