lim_(x->0)sin^-1x/x  = কত ?

প্রশ্ন: lim_x→0 \frac{\sin^{-1} x}{x} কত?

উত্তর: 1

সমাধান:

আমরা জানি, যখন \(x \to 0\), তখন \(\sin^{-1} x\) এর জন্য নিম্নলিখিত টেইলর বিকৃতি পেয়েছি:

\( \sin^{-1} x = x + \frac{x^3}{6} + \mathcal{O}(x^5) \)

অর্থাৎ, \(\sin^{-1} x\) এর মূল অংশ হলো \(x\)। এখন, লিমিটটি হিসাব করলে:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + \frac{x^3}{6} + \mathcal{O}(x^5)}{x} \]

উপরে, ডিভিশন করলে পাই:

\[ = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{x^2}{6} + \mathcal{O}(x^4) \right) \]

যেহেতু \(x \to 0\), তাই:

\[ = 1 + 0 + 0 = 1 \]

অতএব, উত্তর হলো:

\( \boxed{1} \)