lim_(n->∞)(5^(n+2)+7^(n+1))/(5^n-7^n) এর মান নিচের কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+2} + 7^{n+1}}{5^n - 7^n}\) এর মান কি? সমাধান: প্রথমে, মূল এক্সপ্রেশনের প্রতিটি উপাদানে সর্বোচ্চ শক্তির ভিত্তির সঙ্গে ভাগ করি। এখানে, সর্বোচ্চ শক্তির ভিত্তি হলো \(7^n\), কারণ \(7^n\) দ্রুত বৃদ্ধি পায় \(5^n\) এর তুলনায়। তাই, \[ \lim_{n \to \infty} \frac{5^{n+2} + 7^{n+1}}{5^n - 7^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5^{n+2}}{7^n} + \frac{7^{n+1}}{7^n}}{\frac{5^n}{7^n} - 1} \] এখানে, \[ \frac{5^{n+2}}{7^n} = 5^2 \times \frac{5^n}{7^n} = 25 \times \left(\frac{5}{7}\right)^n \] এবং, \[ \frac{7^{n+1}}{7^n} = 7 \] এবং, \[ \frac{5^n}{7^n} = \left(\frac{5}{7}\right)^n \] অতএব, \[ \lim_{n \to \infty} \frac{25 \times \left(\frac{5}{7}\right)^n + 7}{\left(\frac{5}{7}\right)^n - 1} \] যেহেতু \(\frac{5}{7} < 1\), \(\left(\frac{5}{7}\right)^n \to 0\) as \(n \to \infty\), তাই, \[ \lim_{n \to \infty} \frac{0 + 7}{0 - 1} = \frac{7}{-1} = -7 \] অতএব, উত্তর হল: \boxed{-7}