লিমিটের ক্ষেত্রে-

1. lim_(x->0)(e^x-1)/x=1 
2. lim_(x->2)(x^2-4)/(x-2)=4 
3. lim_(x->0)(sin2x)/(2x)=1 

নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:

1. \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}\)

প্রথমে, আমরা জানি যে,
\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1\), কারণ এই লিমিটটি মূল গণনা থেকে পরিচিত। 
অথবা, লোপিটাল সূত্র ব্যবহার করলেও,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{d}{dx}(e^x - 1) / \frac{d}{dx} x = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = e^0 = 1
\]
এটি সঠিক।

2. \(\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}\)

প্রতীকটি সরাসরি বসালে, 
যখন \(x \to 2\),
তাহলে, ডিনোমিনেটর ও নিউমেরেটর উভয়ই 0 হয়। এটি একটি 0/0 ইনডেটারমাইম, তাই লোপিটাল সূত্র বা সরল রূপান্তর ব্যবহার করব।

সরাসরি গুণফল:
\[
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
\]
অতএব,
\[
\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4
\]
সুতরাং, এটি সঠিক।

3. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x}\)

প্রাকটিক্যালি, আমরা জানি যে,
\[
\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1
\]
এবং এখানে \(u = 2x\), তাই যখন \(x \to 0\), \(u \to 0\)।

তাহলে,
\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1
\]
অর্থাৎ, এই লিমিটটি সঠিক।

উপসংহার: