\( \lim_{x \to 0} \left( \frac{|x|}{x} \right) = ? \)

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: প্রশ্নে লিমিটের প্রশ্ন দেওয়া হয়েছে যেখানে \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{|x|}{x} \right) \) এর মান নির্ধারণ করা হচ্ছে। এই সমীকরণটির জন্য, যখন \( x \) ইতিবাচক, তখন \( \frac{|x|}{x} = 1 \), আর যখন \( x \) ঋণাত্মক, তখন \( \frac{|x|}{x} = -1 \)। তবে, \( x \to 0 \) এর জন্য সঠিক মান নির্ধারণ করা সম্ভব নয় কারণ এটি দুটি ভিন্ন মানের দিকে চলে, অর্থাৎ, একপক্ষ থেকে ১ এবং অন্যপক্ষ থেকে -১। অপশন বিশ্লেষণ: A. লিমিটের অস্তিত্ব নেই: সঠিক, কারণ দুটি ভিন্ন সীমা আছে। B. 1: ভুল, এটি শুধুমাত্র \( x \) যদি ০ এর থেকে ধনাত্মক দিকে প্রবাহিত হয়। C. -1: ভুল, এটি শুধুমাত্র \( x \) যদি ০ এর থেকে ঋণাত্মক দিকে প্রবাহিত হয়। D. কোনটিই নয়: ভুল, A সঠিক। নোট: এই প্রশ্নটি লিমিটের অস্তিত্বের বিষয়ে শেখায়, যেখানে কোনো একক মানে পৌঁছানোর জন্য লিমিটের দুটি পার্শ্ব থেকে অভিগমন শর্ত গুরুত্বপূর্ণ।

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{|x|}{x} \right) = ? \)

সমাধান:

আমরা জানি, পরম মান ফাংশন \( |x| \) কে নিম্নোক্তভাবে লেখা যায়: \[ |x| = \begin{cases} x, & \text{যদি } x > 0 \\ 0, & \text{যদি } x = 0 \\ -x, & \text{যদি } x < 0 \end{cases} \] সুতরাং, \( \frac{|x|}{x} \) এর মান \( x \) এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে। যখন \( x \to 0^+ \) (অর্থাৎ, \( x \), 0 এর দিকে ডান দিক থেকে অগ্রসর হয়, যেখানে \( x > 0 \)): \[ \lim_{x \to 0^+} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 \] আবার, যখন \( x \to 0^- \) (অর্থাৎ, \( x \), 0 এর দিকে বাম দিক থেকে অগ্রসর হয়, যেখানে \( x < 0 \)): \[ \lim_{x \to 0^-} \frac{|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = \lim_{x \to 0^-} -1 = -1 \] যেহেতু ডানদিকের সীমা (Right-hand limit) এবং বামদিকের সীমা (Left-hand limit) পরস্পর সমান নয়, তাই \( \lim_{x \to 0} \frac{|x|}{x} \) এর অস্তিত্ব নেই। 😥 অতএব, উত্তর: লিমিটের অস্তিত্ব নেই।✅