lim_(x->0)(e^(2x)-1)/x=?

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = ? \)

সমাধান:

আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \)

এখন, প্রদত্ত লিমিটটি হল:

\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} \)

ধরি, \( y = 2x \). সুতরাং, যখন \( x \to 0 \), তখন \( y \to 0 \) হবে।

তাহলে, \( x = \frac{y}{2} \)

সুতরাং, লিমিটটি হবে:

\( \lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{\frac{y}{2}} \)

\( = \lim_{y \to 0} 2 \cdot \frac{e^y - 1}{y} \)

\( = 2 \cdot \lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} \)

আমরা জানি, \( \lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} = 1 \)

সুতরাং, \( = 2 \cdot 1 = 2 \) 🥳

অতএব, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} = 2 \)