lim_(x->2) (x^2-2^x)/(x^x-4)এর মান কত হবে?

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^x}{x^x - 4} \) এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

প্রথমে, আমরা দেখি \( x = 2 \) বসালে ফাংশনটির মান \( \frac{0}{0} \) হয়, যা একটি indeterminate form। তাই আমরা এখানে L'Hôpital's rule ব্যবহার করতে পারি।

L'Hôpital's rule অনুসারে, যদি \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) এর মান \( \frac{0}{0} \) অথবা \( \frac{\infty}{\infty} \) হয়, তবে:

\( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) যদি এই লিমিটটি বিদ্যমান থাকে।

এখানে, \( f(x) = x^2 - 2^x \) এবং \( g(x) = x^x - 4 \)।

তাহলে, \( f'(x) = 2x - 2^x \ln 2 \)
এবং \( g'(x) = \frac{d}{dx} (x^x) \)।

আমরা জানি, \( x^x = e^{x \ln x} \)। সুতরাং,
\( \frac{d}{dx} (x^x) = \frac{d}{dx} (e^{x \ln x}) = e^{x \ln x} \cdot \frac{d}{dx} (x \ln x) = x^x (\ln x + 1) \).

সুতরাং, \( g'(x) = x^x (\ln x + 1) \)।

এখন, L'Hôpital's rule ব্যবহার করে:

\( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^x}{x^x - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{2x - 2^x \ln 2}{x^x (\ln x + 1)} \)

এখন \( x = 2 \) বসিয়ে পাই:

\( \frac{2(2) - 2^2 \ln 2}{2^2 (\ln 2 + 1)} = \frac{4 - 4 \ln 2}{4 (\ln 2 + 1)} = \frac{4(1 - \ln 2)}{4(1 + \ln 2)} = \frac{1 - \ln 2}{1 + \ln 2} \)

অতএব, \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 2^x}{x^x - 4} = \frac{1 - \ln 2}{1 + \ln 2} \)। 🎉