lim_(xto ∞)(x/(1+x))^x=? 

প্রশ্ন:

\( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{1+x} \right)^x = ? \)

সমাধান:

আমরা এই লিমিটটিকে এভাবে লিখতে পারি:

\( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{1+x} \right)^x = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{1+x}{x} \right)^{-x} \)

এখন, \( \frac{1+x}{x} = 1 + \frac{1}{x} \) সুতরাং,

\( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x} \)

আমরা জানি যে, \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = e \)

সুতরাং, \( \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x} = \frac{1}{e} = e^{-1} \)

অতএব, \( \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x}{1+x} \right)^x = e^{-1} \) 🎉

উত্তর:

\( e^{-1} \) ✅