lim_(x->0)(cos2x-cos3x)/x^2 এর মান কত?

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x^2} \) এর মান কত?

সমাধান:

আমরা জানি, \( \cos C - \cos D = -2 \sin \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2} \).

সুতরাং, \( \cos 2x - \cos 3x = -2 \sin \frac{2x+3x}{2} \sin \frac{2x-3x}{2} = -2 \sin \frac{5x}{2} \sin \frac{-x}{2} = 2 \sin \frac{5x}{2} \sin \frac{x}{2} \).

তাহলে, \[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \sin \frac{x}{2}}{x^2} \]

আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \).

এখন, \[ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin \frac{5x}{2} \sin \frac{x}{2}}{x^2} = 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{5x}{2}}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{x} \]

আমরা লিখতে পারি,

\[ 2 \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{5x}{2}}{\frac{5x}{2}} \cdot \frac{5}{2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \]

যেহেতু \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), তাই

\[ 2 \cdot 1 \cdot \frac{5}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{2} \]

অতএব, \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos 2x - \cos 3x}{x^2} = \frac{5}{2} \). 🎉