Lt_(x->0)(sqrt(1+sinx)-sqrt(1-sinx))/x এর মান কত?

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের খুঁজে বের করতে হবে:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{x} \]

প্রথমে, আমরা দুইটি স্কোয়ার রুটের মধ্যে পার্থক্য রয়েছে। এই ধরনের লিমিটে, সাধারণত, নিউটনের বেটা বা র‍্যাশনালাইজেশন পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। আমরা র‍্যাশনালাইজেশন করব:

নিম্নলিখিতভাবে, আমরা সংখ্যাটির মান বের করতে পারি:

\[ \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - \sin x}}{x} \times \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x}} \]

এখন, এর ফলাফল হবে:

\[ \frac{(1 + \sin x) - (1 - \sin x)}{x \left( \sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x} \right)} = \frac{2 \sin x}{x \left( \sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x} \right)} \]

আমাদের লিমিটে, যখন \( x \to 0^+ \), তখন \(\sin x \to 0\)। তাই, আমরা এই মানগুলো প্রয়োগ করব:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{2 \sin x}{x \left( \sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - \sin x} \right)} \]

এখানে, \(\sin x \approx x\) যখন \(x \to 0\), তাই:

\[ \lim_{x \to 0^+} \frac{2 x}{x \left( \sqrt{1 + 0} + \sqrt{1 - 0} \right)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2 x}{x (1 + 1)} = \lim_{x \to 0^+} \frac{2 x}{2 x} = 1 \]

অতএব, সঠিক মান হলো:

উত্তর: 1