lim_(x->0)(cos8x-cos4x)/(cos5x-cos3x) = ?  

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos 8x - \cos 4x}{\cos 5x - \cos 3x}\)

উত্তর: 3

সমাধান:

প্রথমে, যখন \(x \to 0\), তখন উল্লেখ্য যে \(\cos kx \to 1\)। তাই, এই সীমার জন্য সরাসরি মান বসানো সম্ভব নয়, কারণ উভয় অব্যক্তে শূন্য বিভাজ্যতা হয়। অতএব, লিমিট নির্ণয়ের জন্য টেইলর সিরিজ বা হোপিটাল নিয়ম ব্যবহার করব।

ব্যাখ্যা:

প্রথমে, টেইলর সিরিজের সাহায্যে \(\cos kx\) এর বিকাশ:

\(\cos kx \approx 1 - \frac{(kx)^2}{2}\) যখন \(x \to 0\)।

অতএব, সমাধানে:

\[ \cos 8x \approx 1 - \frac{(8x)^2}{2} = 1 - 32x^2 \] \[ \cos 4x \approx 1 - \frac{(4x)^2}{2} = 1 - 8x^2 \] \[ \cos 5x \approx 1 - \frac{(5x)^2}{2} = 1 - \frac{25x^2}{2} \] \[ \cos 3x \approx 1 - \frac{(3x)^2}{2} = 1 - \frac{9x^2}{2} \] এখন, ঊভয় নাম্বার গুলির মাধ্যমে বিভাজ্যাংশ নির্ণয় করি: \[ \frac{\cos 8x - \cos 4x}{\cos 5x - \cos 3x} \approx \frac{(1 - 32x^2) - (1 - 8x^2)}{(1 - \frac{25x^2}{2}) - (1 - \frac{9x^2}{2})} \] সরলীকরণ করে: \[ = \frac{-32x^2 + 8x^2}{-\frac{25x^2}{2} + \frac{9x^2}{2}} = \frac{-24x^2}{-\frac{16x^2}{2}} = \frac{-24x^2}{-8x^2} \] অতএব, \[ = \frac{-24x^2}{-8x^2} = \frac{24}{8} = 3 \] অতএব, সীমার মান: \[ \boxed{3} \]