f(x) = √x হলে   ln_(xto0) { ((1x+b)-(x))/h} এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: যদি \(f(x) = \sqrt{x}\) হয়, তবে \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\) এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

আমাদের দেওয়া আছে, \(f(x) = \sqrt{x}\)

আমরা জানি, \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)

তাহলে, \(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}\) 🧐

এখন, লব ও হরকে \(\sqrt{x+h} + \sqrt{x}\) দিয়ে গুণ করে পাই,

\(f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x+h} - \sqrt{x})(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}\) 😮

\(= \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}\)

এখন, \(h \to 0\) বসালে পাই,

\(f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x+0} + \sqrt{x}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}}\)

\(= \frac{1}{2\sqrt{x}}\) 🎉

অতএব, \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\)

সুতরাং, উত্তর: \(\frac{1}{2\sqrt{x}}\) ✅