lim_(x->0)tan^-1(2x)/(3x) এর মান কত?

প্রশ্ন: \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{3x}

উত্তর: আমরা প্রথমে এই সীমার মান নির্ণয় করব।

সীমাটি:

\[ L = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{3x} \]

আমরা জানি যে, \(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan x}{x} = 1\)।

অতএব, \(\arctan(2x)\) এর জন্য, এর মানও একই রকমভাবে ব্যবহৃত হতে পারে।

প্রথমে, সীমাটির জন্য পরিবর্তন করি:

\[ L = \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{3x} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{x} \]

এখন, \(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{x}\) নির্ণয় করি।

এখানে, আমরা পরিবর্তন করি \(t = 2x\)। তাহলে, যখন \(x \to 0\), তখন \(t \to 0\)।

সুতরাং,

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{x} = \lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{\frac{t}{2}} = 2 \lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} \]

এবং, আমরা জানি যে:

\[ \lim_{t \to 0} \frac{\arctan(t)}{t} = 1 \]

অতএব,

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\arctan(2x)}{x} = 2 \times 1 = 2 \]

সুতরাং, মূল সীমাটির মান:

\[ L = \frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3} \]

অতএব,

উত্তর: \(\boxed{\frac{2}{3}}\)