\lim_{{x \to \pi}} \frac{\sin x}{x - \pi} \) সমান কত?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi}\) সমান কত? উত্তর: 1 সমাধান: আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, যখন \(x \to \pi\), তখন \(\sin x \to \sin \pi = 0\) এবং \(x - \pi \to 0\)। অর্থাৎ, এটি একটি \(\frac{0}{0}\) ধরণের অস্পষ্টতা। তাই, লিমিট নির্ণয়ের জন্য লোপিতের (L'Hôpital's Rule) ব্যবহার করব। \[ \lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi} \] L'Hôpital's Rule অনুযায়ী, যদি \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) হয় যেখানে \(f(x) \to 0\) এবং \(g(x) \to 0\), তবে, \[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \text{, যদি এই সীমা বিদ্যমান হয়।} \] এখানে, \[ f(x) = \sin x \Rightarrow f'(x) = \cos x \] \[ g(x) = x - \pi \Rightarrow g'(x) = 1 \] অতএব, \[ \lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi} = \lim_{x \to \pi} \frac{\cos x}{1} = \cos \pi \] জেনে নেই, \[ \cos \pi = -1 \] তাই, \[ \boxed{ \lim_{x \to \pi} \frac{\sin x}{x - \pi} = -1 } \] সুতরাং, মূল উত্তরটি হলো \(-1\)।