\( \lim_{x \to 0} \frac{e^{mx} - 1}{m(tan x + sin x)} \) =?

Explanation: Hints: L'Hospital's Rule প্রয়োগ করতে পারো। Solve: \(\lim_{x \to 0} \frac{e^{m \tan x} - 1}{m (\tan x + \sin x)} = \lim_{x \to 0} \frac{m \sec^2 x e^{m \tan x}}{m (\sec^2 x + \cos x)}\) \(\ = \frac{m \cdot e^0 \cdot 1}{m (1+1)} = \frac{m}{2m} = \frac{1}{2}\) ব্যাখ্যা: L'Hospital's Rule হলো কোনো ফাংশনের লব এবং হরকে পৃথকভাবে অন্তরীকরণ করতে হবে যতক্ষণ পর্যন্ত \(x\) এর লিমিট বসিয়ে সংকুচিত মান না পাওয়া যায়। এখানে একবার অন্তরীকরণ করার পর আমরা \( \frac{1}{2}\) মান পেয়েছি।

Another Explanation (5): সমাধান: আমরা \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{mx} - 1}{m(\tan x + \sin x)} \) এর মান নির্ণয় করব। প্রথমে, লবের \( e^{mx} - 1 \) অংশটিকে দেখি। আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \)। সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{mx} - 1}{mx} = 1 \) হবে। এখন, হরের \( \tan x + \sin x \) অংশটিকে বিবেচনা করি। আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1 \) এবং \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)। তাহলে, আমরা লিখতে পারি: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{mx} - 1}{m(\tan x + \sin x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{mx} - 1}{mx} \cdot \frac{x}{\tan x + \sin x} \) আমরা জানি \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{mx} - 1}{mx} = 1 \), তাই আমাদের এখন \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x + \sin x} \) এর মান বের করতে হবে। \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x + \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\frac{\sin x}{\cos x} + \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x (\frac{1}{\cos x} + 1)} \) \( = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{\cos x} + 1} \) আমরা জানি \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \), সুতরাং \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1 \)। এবং \( \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \), তাই \( \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{\cos x} + 1} = \frac{1}{\frac{1}{1} + 1} = \frac{1}{2} \) সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan x + \sin x} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) অতএব, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{mx} - 1}{m(\tan x + \sin x)} = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \) 🎉🎉🎉