যদি, y=1-x-x^2/(2!)-x^3/(3!)+....∞, z=-y-y^2/(2)-y^3/(3)-y^4/4....∞ হয়।তাহলে x এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): সমাধান: প্রথমে y এর মান বের করি: আমরা জানি, \(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... \infty\) তাহলে, \(e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + ... \infty\) এখানে, \(y = 1 - x - \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} - ... \infty\) \(y = 1 - (x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... \infty)\) \(y = 1 - (e^x - 1)\) 🤯 \(y = 1 - e^x + 1\) \(y = 2 - e^x\) 🤩 এখন z এর মান বের করি: \(z = -y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} - \frac{y^4}{4} - ... \infty\) আমরা জানি, \(ln(1-y) = -y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} - ... \infty\) , যখন \(\left|y\right| \le 1\) এবং \(y \ne 1\). তাহলে, \(z = ln(1-y)\) 😎 \(e^z = 1 - y\) \(y = 1 - e^z\) y এর মান বসিয়ে পাই, \(2 - e^x = 1 - e^z\) \(e^x = 2 - 1 + e^z\) \(e^x = 1 + e^z\) \(x = ln(1 + e^z)\) 🥳 এখন, উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য: \(x = ln(1 + e^z)\) \(x = ln(e^z(e^{-z} + 1))\) \(x = ln(e^z) + ln(1 + e^{-z})\) \(x = z + ln(1 + e^{-z})\) কিন্তু আমাদের উত্তর দরকার \(ln(\frac{1}{1-e^z})\) আকারে। 🤔 আমরা পেয়েছি, \(e^x = 1 + e^z\) তাহলে, \(e^z = e^x - 1\) \(z = ln(e^x - 1)\) এখন, \(ln(\frac{1}{1-e^z}) = ln(\frac{1}{1-(e^x - 1)})\) \(= ln(\frac{1}{1-e^x + 1})\) \(= ln(\frac{1}{2-e^x})\) আমরা জানি \(y = 2 - e^x\) সুতরাং \(ln(\frac{1}{y})\). আবার, \(y = 1 - e^z\) তাহলে, \(ln(\frac{1}{1-e^z}) = ln(\frac{1}{y})\) \(x = ln(1+e^z)\) এখন, \(e^z = e^x - 1\) \(\frac{1}{1-e^z} = \frac{1}{1-(e^x-1)} = \frac{1}{2-e^x}\) \(ln(\frac{1}{1-e^z}) = ln(\frac{1}{2-e^x})\) \(2 - e^x = y\) \(e^x = 2-y\) \(z = ln(1-y)\) \(e^z = 1-y\) \(y = 1 - e^z\) \(2 - e^x = 1 - e^z\) \(e^x = 1 + e^z\) \(x = ln(1 + e^z)\) এখন অপশন verify করি : \(ln(\frac{1}{1-e^z})\) \(ln(\frac{1}{1-e^z})\) \(= -ln(1-e^z)\) \(= -ln(1-(e^x-1))\) \(= -ln(2-e^x)\) আমরা জানি , \(e^x=1+e^z\) তাহলে, \(x=ln(1+e^z)\) সুতরাং, নির্ণেয় মান \(ln(1+e^z)\) 😁