\( \lim_{x \to a} \frac{x^9 - a^9}{x - a} = ? \)

প্রশ্ন:
\(\lim_{x \to a} \frac{x^9 - a^9}{x - a}\) কেমন?

উত্তর:
\(\boxed{9a^8}\)

সমাধান:

প্রথমে, লক্ষ্য করি যে, এই সীমা একটি রূপে ফর্ম \(\frac{0}{0}\) এর মতো, কারণ যখন \(x \to a\), তখন numerator ও denominator উভয়ই শূন্য হয়।

এজন্য, আমরা মূলত এই সীমা সংজ্ঞা বা ডিফারেনশিয়েশন এর জন্য ব্যবহার করতে পারি বা পার্সেন্টিভ রুল বা পলিনোমিয়াল ডিফারেনশিয়েশনের মাধ্যমে সমাধান করতে পারি।

অথবা, আমরা পরিচিত ফর্মুলা ব্যবহার করতে পারি:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = f'(a) \] যেখানে \(f(x) = x^9\)।

অর্থাৎ, এই সীমা হল \(f'(a)\)। এখন, \(f(x) = x^9\) এর ডেরিভেটিভ হিসাব করি:

\[ f'(x) = 9x^{8} \]

অতএব,

\[ \lim_{x \to a} \frac{x^9 - a^9}{x - a} = f'(a) = 9a^{8} \]

অতএব, উত্তরে পাওয়া যায়:
\(\boxed{9a^{8}}\)